Tutorato CP1

17 Marzo 2003

1. Si lanciano 3 monete. Consideriamo gli eventi A={tutte teste o tutte croci}, B={almeno 2 teste}, C={non più di 2 teste}. Fra le coppie (A,B), (A,C), (B,C) quali sono indipendenti e quali dipendenti?

2. Un dado a 6 facce viene tirato ripetutamente fino a quando gli ultimi due lanci danno per la prima volta lo stesso risultato.
• Per ogni r=1, 2, … calcolare la probabilità p_r che vengano fatti esattamente r lanci.
• Calcolare la somma p₁+p₂+…+p₁₀₀.

3. Un’urna contiene 6 palline nere e 4 bianche. Viene estratta una pallina a caso e rimpiazzata con 4 palline dello stesso colore (cosicché l’urna contiene 13 palline). Quindi si estrae un’altra pallina a caso dall’urna.
• Qual è la probabilità che la seconda pallina estratta sia bianca?
• Sapendo che la seconda pallina estratta è bianca qual è la probabilità che la prima fosse nera?
• Supponiamo che il contenuto iniziale dell’urna è di n palline bianche e m nere, e che dopo la prima estrazione le palline aggiunte siano k+1, dimostrare che la probabilità che la seconda pallina estratta è bianca non dipende da k.

4. L’1% di una popolazione ha una certa malattia. Il 5% delle persone sane vengono erroneamente diagnosticate come malate e il 2% delle persone malate vengono erroneamente diagnosticate come sane. Supponiamo che la diagnosi venga fatta ad una persona a caso della popolazione.
• Qual è la probabilità che la diagnosi sia positiva?
• Qual è la probabilità che la persona sia malata e diagnosticata sana?
• Qual è la probabilità che la persona sia sana e correttamente diagnosticata come sana?

5. Ci sono 100 scatole numerate, la scatola i-esima contiene una proporzione di monete d’ oro pari a i/100 (le rimanenti sono d’argento). Si sceglie a caso una scatola e da essa una moneta.
• Se la moneta è d’ oro da quale scatola è estratta più probabilmente? Perché?
• Supponiamo che la scatola è scelta con il seguente schema: viene data alle scatole dispari probabilità doppia delle pari, una probabilità uguale a tutte le dispari ed una probabilità uguale a tutte le pari. Se viene estratta una moneta d’ oro, quale scatola è stata scelta più probabilmente?

Soluzioni:

1. Solamente (A,B) è una coppia di eventi indipendenti.
2. 5^r-2/6^r-1 ; 1-(5/6)⁹⁹
3. 0.4; 6/13; risulta essere n/(n+m)
4. 0.0575; 0.002; 0.9405; 16/115
5. nel primo caso la probabilità condizionata P(scelta la scatola i-esima | pescata 1 moneta d’oro) è i/4950 che è massima per i=100; nel secondo caso chiamiamo q la probabilità di pescare una moneta d’oro, allora la probabilità condizionata P(scelta la scatola i-esima | pescata 1 moneta d’ oro) per i=2k è (2k)/(15000q) mentre per i=2k-1 è (2k-1)/(7500q): dunque il massimo è raggiunto per i=99.