Tutorato CP1

31 Marzo 2003

1. Verificare che i seguenti numeri coincidono:
• il numero di modi in cui si può formare una sequenza di “0” e “1” di lunghezza 99 contenente solamente cinque “1”;
• il numero di modi in cui si possono inserire 5 palline nere in una fila di 100 palline bianche in modo che ogni pallina nera sia circondata da due bianche;
• il numero di modi in cui si possono suddividere 100 palline su un asse di un pallottoliere in 6 gruppi formati da almeno una pallina;
• il numero di modi in cui si possono disporre 100 palline indistinguibili in 6 scatole ordinate affinché ogni scatola contenga almeno una pallina;
• il numero di modi in cui si può lanciare un dado a 6 facce 100 volte ottenendo ogni numero sul dado almeno una volta, senza tenere conto dell’ordine;
• il numero di modi in cui si può scegliere una sequenza di 6 numeri interi maggiori di 0 in modo che la loro somma sia 100.

2. Dopo aver mostrato che il numero di modi in cui si possono suddividere 100 palline indistinguibili in 6 scatole coincide con il numero di modi in cui si può formare una stringa di “0” e “1” di lunghezza 105 e contenente solo cinque “1” (suggerimento: vedere gli zeri come palline separate dagli “1”…), dire quanto vale tale numero.

3. Vengono scelti a caso dei sottoinsieme dell’ insieme S={1,2,…,N} in modo che siano tutti equiprobabili. Qual è la probabilità che due sottoinsiemi casuali siano uno complementare dell’ altro? Qual è la probabilità di ottenere una partizione con tre sottoinsiemi casuali? Qual è la probabilità che due sottoinsiemi casuali siano disgiunti?

4. In un esame di 100 domande con risposte V/F uno studente ha risposto correttamente a 50 domande e ha risposto casualmente ad altre 39. Per superare l’ esame occorrono almeno 70 risposte corrette. Qual è la probabilità che lo studente lo abbia superato?

5. Date 30 persone qual è la probabilità che entro i 12 mesi ci siano 6 mesi contenenti 2 compleanni e 6 contenenti 3 compleanni? (suggerimento: considerare come spazio degli eventi l’ insieme delle sequenze di 30 mesi scelti tra 12…)

Soluzioni:

1. Sono tutti uguali a C(99,5)
2. C(105,5)
3. (1/2)^N, (3/8)^N, (3/4)^N
4. 1/2
5. 30! C(12,6)/(2⁶ 6⁶ 12³⁰)