Tutorato CP1

3 Marzo 2003

1. Una scatola contiene n biglietti etichettati 1, 2, … , n. Dalla scatola viene estratto un biglietto a caso e poi reinserito, quindi viene estratto un secondo biglietto.

Calcolare la probabilità dei seguenti eventi:

• Il primo numero estratto è 1 ed il secondo è 2;
• I numeri sui due biglietti sono interi consecutivi;
• Il secondo numero estratto è strettamente maggiore del primo;
• La somma dei due numeri è dispari;
• I due numeri estratti x, y verificano la relazione 10 < x + y < n – 20 ;
• Il massimo tra i numeri estratti è minore o uguale a n/2 assumendo n pari.
• Il massimo tra i due numeri estratti è esattamente n/2.
• I due numeri estratti x, y verificano la relazione y=f(x) con f funzione di {1, … , n} in sé stesso.
• I due numeri estratti x, y verificano la relazione x² + y² < 10 assumendo n>10.

Se n è “molto grande” quale sarà approssimativamente la probabilità che i due numeri estratti x, y verifichino la relazione x² + y² < n² ?

2. Come cambiano le risposte all’ esercizio precedente se le due estrazioni successive vengono eseguite senza reinserire il primo biglietto estratto?

3. Prendiamo a caso 3 lampadine su 15, di cui 5 sono difettose.
• Quante sono in totale le terne di lampadine che possono essere prese (senza tenere conto dell’ ordine)?
• Quante le terne composte solo da lampadine difettose?
• Quante le terne composte solo da lampadine non difettose?
• Quante le terne composte da una sola lampadina difettosa?

Qual è la probabilità che

• Nessuna delle tre sia difettosa?
• Esattamente una sia difettosa?
• Almeno una sia difettosa?

4. Sei in una stanza con altre n - 1 persone. Qual è la probabilità che

• almeno un’ altra persona compia gli anni nello stesso giorno in cui li compi tu?
• nessuno compia gli anni nel tuo stesso giorno?
• nessuno compia gli anni nello stesso giorno di nessun altro?
• esistano almeno 2 persone che compiono gli anni nello stesso giorno?

(Ignorare gli anni bisestili.)

Soluzioni:

1. 1/n²; (n-1)/n²; n(n-1)/(2 n²); ½ se n è pari e 1/2-1/(2n²) se n è dispari;

¼; (n-1)/ n²; 1/n; 6/n²;p/4.

2. 1/n(n-1); 1/n; ½; (n-2)/(2n-2) se n è pari e (n+1)/(2n) se n è dispari,

n/4(n-1);1/n; a seconda della f può variare tra 0 e 1/(n-1); 6/n(n-1) ; p/4

3. 455, 10, 120, 225, 24/91, 45/91, 67/91

4. 1/365, (364/365)ⁿ,