Tutorato
CP1
26 Maggio 2003
1. Ad una fermata dell’ autobus
possono passare solamente 2 linee: l’1 e il 2. Il tempo di attesa
medio per un autobus della linea 1 è di 20 minuti, per uno della 2 è di 10
minuti, e la distribuzione di probabilità è di tipo esponenziale.
a) Qual è la probabilità che entro 10 minuti passi un
autobus della linea 1?
b) Qual è la probabilità di dover attendere più di 20
minuti prima di poter prendere uno qualunque dei 2 autobus?
c) Supponiamo di sapere in anticipo che entro i primi 10
minuti di attesa arriverà un solo autobus, che
probabilità c’è che sia l’1?
d) Sia P[0,10] la
probabilità che passi il 2 entro i primi 10 minuti d’attesa. Supponiamo di aver
atteso il 2 per 20 minuti e che questo non sia ancora passato,
questo fatto aumenta la probabilità che il 2 arrivi entro 10 minuti a partire
da adesso rispetto a P[0,10]?
e) Se dobbiamo prendere il 2 fino ad una certa fermata a
10 minuti di distanza e poi dobbiamo prendere l’ autobus
della linea 3, che ha un tempo di attesa con distribuzione identica al 2, per
poi scendere dopo 30 minuti quanto è il tempo atteso di arrivo a destinazione?
2. Il punteggio degli studenti ad un esame si può modellizzare come una variabile aleatoria gaussiana con deviazione standard 3. Con 18 o più si supera
l’esame, con più di 30 si prende la lode. Se circa il 50% degli studenti conclude l’esame con un voto superiore a 21 qual è la media?
Qual è la percentuale di studenti che prendono la lode? Quale la percentuale
degli studenti che devono rifare l’esame?
3. L'altezza degli uomini di una determinta
città ha legge normale con media 178cm e deviazione standard 10cm. Mentre quella delle donne ha legge normale di media 168cm e
deviazione standard 15cm. Inoltre le donne costituiscono il 58% della
popolazione totale della città in oggetto di indagine.
a) Qual è la probabilità che l'altezza di una abitante della città, mascherato, fermato a caso ad un
angolo della strada in un giorno di carnevale, sia compresa tra 165 e 180 cm. ?
b) Se l'altezza della persona mascherata fermata a caso è
compresa tra 165 e 180 cm qual è la probabilità che la
persona fermata sia un uomo?
4. Vengono scelti a caso e indipendentemente N numeri X1,
X2, …, XN nell’ intervallo [0,1] con distribuzione
uniforme. Sia MN=(X12+X22+…+XN2)/N
la media aritmetica dei quadrati. Usando la disuguaglianza di Chebycev mostrare che P(MN>1/2) tende a 0 per
N che tende all’ infinito e stimare N che renda tale
probabilità minore di 0.01.
5. Calcolare la densità della variabile
casuale data dalla somma di 2 numeri scelti a caso in [0,1] con distribuzione
uniforme.
Risposte
e suggerimenti:
1. a: 0.393; b: 0.05; c: 0.274; d: la probabilità rimane
la stessa; e: 60 minuti
2. Vedi http://www.mat.uniroma3.it/didatticacds/corsi/didattica_interattiva/aa_00_01/ps1/eso2.pdf
4. Si ha che la media di MN è pari a 1/3 e P(MN>1/2)<
P(|MN-1/3|>1/6)<Var(MN)*36=Var(X)*36/n
5. Con un integrale di convoluzione
si ottiene una densità f(x)=x per 0<x<1, f(x)=2-x per 1<x<2.