Tutorato CP1

5 Maggio 2003

 

 

 

  1. Dare un esempio di (i) una variabile casuale con media nulla e varianza positiva, (ii) una variabile casuale con media positiva e varianza nulla, (iii) due variabili casuali con varianza positiva tali che la covarianza è nulla, (iv) è possibile che la covarianza di X e Y sia positiva e le varianze entrambe nulle?
  2. Siano X e Y variabili casuali con la seguente distribuzione di probabilità congiunta:

    3. X \ Y

    -3

    2

    4

    Somma

    1

    0.1

    0.2

    0.2

    0.5

    3

    0.3

    0.1

    0.1

    0.5

    Somma

    0.4

    0.3

    0.3

    		  

    Dire se X e Y sono indipendenti e determinare le funzioni di probabilità di X e Y.

  3. Allo scopo di esercitare un controllo sulla popolazione, come si sa il governo cinese vietò ad ogni coppia, di procreare più di un figlio. Con la speranza di avere un figlio maschio, molte coppie contadine arrivarono ad uccidere neonate femmine.
    A seguito di questi fatti, il Governo Popolare Cinese permette ora di avere figli, fino alla nascita del primo maschio. Ammettendo che la probabilità che nasca un maschio o una femmina sia del 50% e che nessuna coppia si spinga oltre i 10 figli, dire se nella prossima generazione la popolazione sarà aumentata o diminuita e se (tra i giovani) saranno maggiori i maschi o le femmine.
  4. In una città la probabilità che in una fermata dell’ autobus sia presente un controllore è 1/500, l’ utente medio usa l’ autobus per 10 fermate al giorno. Se il prezzo della tessera mensile è di k€ quanto deve essere la multa affinché per l’ utente medio sia conveniente comprare la tessera?
  5. In un’urna vengono inserite due palline bianche ogni secondo. Inizialmente l’urna contiene soltanto una pallina bianca ed una nera. Se possiamo estrarre una pallina a caso ogni secondo (rimuovendola definitivamente dall’ urna) partendo dal momento in cui ci sono solo 2 palline, qual è la probabilità di trovare la pallina nera in un tempo finito? Qual è il tempo atteso per trovare la pallina nera?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Suggerimenti e soluzioni:
  1. Considerare una variabile casuale che assume valore 1 e -1 con probabilità ½ e una variabile casuale che assume un solo valore con probabilità 1. L’ ultimo esempio richiesto non può esistere.
  2. Non sono indipendenti perché ad esempio P(X=3)P(Y=4) è diverso da P(X=3, Y=4)
  3. Le risposte si possono ricavare calcolando la media di figli per ogni coppia e confrontando le medie di maschi e di femmine nate per ogni coppia: si conclude che essendoci poco meno di 2 figli per ogni coppia (cioè per ogni 2 persone della generazione precedente) la popolazione diminuisce, e da un confronto diretto delle medie di figli maschi e figlie femmine si vede che le femmine (giovani) saranno più dei maschi.
  4. Deve essere 5/3k.
  5. La probabilità di finire la ricerca entro un tempo finito è 1 ma il tempo atteso per concludere la ricerca è infinito.