Tutorato CP1

8 Aprile 2003

 

 

 

  1. Una moneta viene lanciata 3 volte. La variabile casuale X assume valore 0 o 1 a seconda che si presenti testa o croce al primo lancio. La variabile casuale Y indica il numero di volte che si presenta testa. Si determinino: le distribuzioni di probabilità di X e Y, le medie, la distribuzione di probabilità congiunta di X e Y, la distribuzione della variabile casuale data dal prodotto XY. X e Y sono indipendenti?
  2. Un dado è lanciato 10 volte. Determinare i valori numerici per le aspettazioni di ciascuna delle seguenti variabili casuali:
    1. La somma dei numeri dei lanci
    2. La somma dei 2 numeri più alti dei primi 3 lanci
    3. Il numero massimo nei primi 5 lanci
    4. Il numero di multipli di 3 in 10 lanci
    5. Il numero di facce che non appaiono in nessuno dei 10 lanci
    6. Il numero di facce differenti che appaiono nei 10 lanci.
  3. In un gioco bisogna puntare 1€ su un qualsiasi numero intero tra 1 e 6. Vengono lanciati tre dadi e se il numero scelto dal giocatore appare k volte, k≥1, il giocatore riceve indietro il suo 1€ assieme ad altri k€. Altrimenti il giocatore perde la puntata di 1€. Alcune persone pensano che questo gioco sia vantaggioso: sostengono che avendo probabilità 1/6 di ottenere il proprio numero su ciascun dado avranno probabilità pari ad almeno 1/6+1/6+1/6 =50% di raddoppiare la loro puntata, e questo sarebbe già sufficiente per rendere il gioco equo, quindi il possibile guadagno extra nel caso il numero uscisse più di una volta rende il gioco favorevole al giocatore. Cosa pensi di questo ragionamento? Quanti centesimi bisogna aspettarsi di vincere in media per ogni partita?
  4. Un’urna contiene N palline di cui una nera e tutte le altre bianche. Per cercare la pallina nera occorre estrarre una pallina a caso alla volta. Dimostrare che il numero medio di estrazioni necessario per trovare la pallina è (N+1)/2. Supponiamo di avere 2 urne con 10 palline ciascuna e che una sola delle 2 contenga una sola pallina nera. Dire quale tra le seguenti due strategie è la più conveniente per cercarla: (1) scegliere prima un’urna a caso, estrarre una pallina alla volta sempre dalla stessa urna e alla fine in caso di insuccesso passare all’ altra; (2) estrarre alternativamente una pallina da ciascuna urna iniziando da una a caso.
  5. Un edificio ha 10 piani. Se 12 persone entrano nell’ ascensore al piano terra e ciascuno sceglie un piano a caso in cui fermarsi indipendentemente dagli altri, qual è l’ aspettazione del piano in cui si ferma l’ ascensore subito dopo la partenza?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Risposte:
  1. E(X)=0.5; E(Y)=0.75; E(XY)=1/2; non sono indipendenti.
  2. a) 35; b) 8.458; c) 5.43; d) 10/3; e) 0.9690; f) 5.0310
  3. In media si perdono 0.79 centesimi
  4. Le strategie sono equivalenti (si deduce dal calcolo del tempo atteso usando entrambe le strategie)
  5. 1.367