Geometria Algebrica 2

A.A. 2005-2006

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Docente: Lucia Caporaso - Ricevimento: mercoledi e giovedi 13-14 - Ufficio: 108

Tel: 06 5488 8040 - E-mail: caporaso[nospam]@mat.uniroma3.it

Programma in breve:

  • Spettro primo di un anello. Fasci. Schemi
  • Proprietà e costruzioni di base: Prodotti, Separatezza.
  • Fibrati vettoriali. Divisori e fibrati lineari. Formula di aggiunzione.
  • Varietà astratte e proiettive.
  • Fasci coerenti. Teorema di finitezza.
  • Morfismi proiettivi e sistemi lineari.
  • Applicazioni a curve.

    Testi consigliati:

  • I Shafarevich Basic Algebraic geometry 2 Springer-Verlag, Berlin, 1994. ISBN: 3-540-57554-5 ISBN: 3-387-57554-5
  • R. Hartshorne Algebraic geometry Graduate Texts in Math. No. 52. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1977.

    Orario: Mercoledi 11-13 Aula 100 e Giovedi 11-13 Aula 311 - Prime due lezioni: Mercoledi 22 e Mercoledi 1 Marzo 11-13 aula 100

    Seminari degli studenti: Lunedi 19 Giugno, Mercoledi 12, 19, 26 Luglio. Ore 11-13 Aula 311

    Diario giornaliero delle lezioni:

    Lezione del 22/2: Spettro primo di un anello. Campo residuo in un punto. Topologia di Zariski su Spec A

    Lezione del 1/3: Aperti principali, irriducibilità, dimensione.

    Lezione del 2/3: Prefasci e fasci. Limiti proiettivi. Fascio strutturale su Spec A.

    Lezione dell' 8/3: Categoria degli Spazi anellati. Schemi affini.

    Lezione del 9/3: Morfismi locali tra spazi localmente anellati. Schemi e morfismi di schemi.

    Lezione del 15/3: Schemi definiti su campi e loro punti razionali. Incollamento di schemi e spazi proiettivi.

    Lezione del 16/3: Schemi non ridotti. Spazio tangente di Zariski in un punto.

    Lezione del 22/3: Prodotti e separatezza. Campi di funzioni razionali per schemi integri.

    Lezione del 23/3: Schemi Noetheriani e di tipo finito. Varietà.

    Lezione del 29/3: Prodotti e fibre schematiche di morfismi. Funzioni su Varietà.

    Lezione del 30/3: Varietà complete. Fibrati vettoriali su varietà e loro sezioni. Fibrati banali e non banali: fibrato tautologico sullo spazio proiettivo.

    Lezione del 19/4: Fibrati vettoriali e loro matrici di transizione. Fascio delle sezioni di un fibrato vettoriale.

    Lezione del 20/4: Fasci di moduli. Fasci localmente liberi, fasci coerenti. Corrispondenza fasci localmente liberi e fibrati vettoriali.

    Lezione del 26/4: Fasci quasicoerenti di ideali e sottoschemi chiusi. Punti regolari e singolari di schemi.

    Lezione del 27/4: Differenziali di Kahler: descrizione (1) assiomatica, (2) esplicita, (3) algebrica.

    Lezione del 3/5: Esempi di moduli di differenziali. Fasci di differenziali su schemi.

    Lezione del 4/5: Fascio dei differenziali di una varietà : esempi, proprietà e significato geometrico (comportamento rispetto ai punti singolari).

    Lezione del 10/5: Fibrato tangente e cotangente di varietà nonsingolari. Fibrato normale e conormale di sottovarietà nonsingolari.

    Lezione del 11/5: Corrispondenza tra divisori di Cartier, fasci invertibili e fibrati lineari su varietà.

    Lezione del 17/5: Fasci invertibili su spazi proiettivi, calcolo esplicito del fascio canonico. Teoremi di aggiunzione: enunciato ed esempi.

    Lezione del 18/5: Teoremi di aggiunzione: dimostrazione. Proprietà di invarianza dei fasci di differenziali.

    Lezione del 24/5: Fasci coerenti su varietà proiettive. Morfismi proiettivi, fasci invertibili e sistemi lineari.

    Lezione del 25/5: Fasci molto ampi. Immersioni chiuse. Esempi.

    Lezione del 31/5: Morfismi proiettivi di curve. Teorema di Riemann-Roch e applicazioni. Curve ellittiche e iperellittiche. Sistema canonico.