AM110 Analisi matematica 1

AA 2009-2010 - I Semestre (L. Chierchia)

Esercitazioni: S. Mataloni

Indice
Avvisi
Scheda informativa
Orari
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Bibliografia
Esoneri ed esami

AVVISI

• [28/1/10] L'orale dell'appello A si terrà venerdì 29/1/2010 nello studio 210 del Prof. Chierchia alle ore 9:30.

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• [19/1/10] L'orale per gli esonerati si terrà venerdì 22/1/10 alle 9:30 in aula B3; è possibile sostenere tale orale anche contestualmente all'esame orale dell'appello A (ma se si partecipa all'appello scritto A e si consegna l'elaborato, il voto dello scritto degli esoneri viene annullato).
  
• È possibile visionare l'elaborato del II esonero venerdì 22/1/10 alle 9:30 in aula B3.
• [23/12/09] Orario esercitazioni/tutorato a gennaio 2010:
  lunedì 11 gennaio, ore 11-13 aula B3 (tutorato F. Cavallari)
  martedì 12 gennaio, ore 11-13 aula B3 (esercitazioni)
  martedì 12, ore 15-17 aula B3 (tutorato R. Svaldi)
  giovedì 14 gennaio, ore 9-10 aula B3 (esercitazioni)
• [16/12/09] Il ricevimento di giovedì 17/12/09 è spostato a venerdì 18/12/09 alle 16:00.
• [15/12/09] Il tutorato di giovedì 17/12/09 è spostato a martedì 12/1/10 (15:15-17:15, aula B3).
• [15/12/09] Il secondo esonero avrà luogo venerdì 15/1/10 (10:00-12:00, aula G)
• [25/11/09] Attenzione: la lezione di recupero verrà fatta venerdì 4/12, 9:15-10:00 (e non martedì 1/12/09 come precedentemente annunciato).
• [18/11/09] Il ricevimento di questa settimana è spostato a venerdì (15:30-17:00).
• [9/11/09] Il ricevimento di questa settimana è anticipato a martedì durante il tutorato (in aula B3).
• [9/11/09] Gli elaborati corretti del primo esonero potranno essere visionati durante il tutorato di martedì 10/11/09.
• [9/11/09] A partire da questa settimana, il giovedì dalle 15:30 alle 17:30 in aula B3, ci sarà un tutorato aggiuntivo a cura di Roberto Svaldi.
• [22/10/09] Le ore di ricevimento di giovedì 29/10/09 sono anticipate a martedì 27/10/09 in aula B3 (durante il tutorato).
• [22/10/09] Mercoledì 28/10/09, al posto delle due ore di lezioni ci saranno due ore di esercitazioni con la Prof. Mataloni.
• [16/10/09] Il primo esonero è fissato per il 3/11/09 dalle 14 alle 16 in aula G.
• [16/10/09] Martedì 20/10/09, durante il tutorato, si svolgerà un test di preparazione al primo esonero con autovalutazione.
• [12/10/09] L'orario di ricevimento di giovedì 15/10/09 sarà dalle 14:30 alle 15:30.
• [29/9/09] Oggi 29/9/09 inizia il tutorato a cura di Filippo Cavallari (studente CL Magistrale in Matematica). Durante il tutorato gli studenti di AM110 potranno svolgere esercizi inerenti al corso, chiedendo, eventualmente, chiarimenti, suggerimenti o consigli al tutore. Durante il tutorato non verranno proposti esercizi, né verranno svolti esercizi alla lavagna.
• [29/9/09] Durante la giornata di mercoledì 7/10/2009 sarà sospesa l'attività didattica in occasione del Colloquium della Facoltà di Scienza MFN dedicato a Cambiamenti climatici e loro effetti sull'ambiente per dare la possibilità a tutti gli interessati di prendervi parte.
• [23/9/09] Orario di venerdì 25/9/09: 9:15-10 lezione; 10:15-11 esercitazione.
• [21/9/09] Il tutorato comincerà martedì 29/9/09.

• Orario lezioni / esercitazioni / tutorato:
  - lezioni: lunedì e mercoledì: 11:00 - 13:00 (Aula B3, complesso aule, Largo San L. Murialdo 1)
  - esercitazioni: mercoledì: 14:00 - 15:00, venerdì 9:00-11:00 (Aula B3)
  - tutorato: martedì 14:00-16:00 (Aula B3; a cura di Filippo Cavallari); giovedì 15:30-17:30 (Aula B3; a cura di Roberto Svaldi).

  Orario di ricevimento:

  Giovedì 15:00-17:00 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [21/9/09] Discussione di tre teoremi "elementari" (esistenza di infiniti numeri primi; irrazionalità di √2; teorema di Pitagora).
  Cenni di teoria degli insiemi (sottoinsiemi, intersezione, unione, differenza, insieme vuoto, insieme delle parti, complementare).
• Lezioni 3 e 4 [23/9/09] Teoria degli insiemi: A ⊆ B ⇒ B^c ⊆ A^c; A ∪ (B ∩ C)= (A ∪ B) ∩ (A ∪ C); A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∪ C).
  I quindici assiomi algebrici di R. Prime conseguenze: "cancellazioni", "semplificazioni", unicità dell'opposto e del reciproco, a 0 = 0, per ogni a.
  [Esercizi consigliati: [G3] es. 1.2, 1.3, 1.4, dimostrare le relazioni dell'es. 1.5, 1.14, 1.15, 1.16]

• Lezione 5 [25/9/09] Ulteriori conseguenze elementari degli assiomi algebrici: (-a) b= a (-b)=-(ab); a ≥ b se e solo se a-b ≥ 0; se a ≥ b e c ≥ 0 allora ac ≥ bc mentre se c ≤ allora ac ≤ bc; a a ≥ 0, per ogni a; 1 > 0.
  Insiemi induttivi e definizione di N. "Principio di induzione".
  [Esercizi consigliati: [G3] da 1.17 a 1.21]

• Lezioni 6 e 7 [28/9/09] "Assiomi di Peano" (come conseguenza della definizione di N). La somma ed il prodotto di due numeri naturali è un numero naturale. Se n < x < n+1, con n naturale, allora x non è naturale.
  Il sedicesimo assioma dei numeri reali: esistenza dell'estremo superiore per sottoinsiemi non vuoti di R e limitati superiormente. Caratterizzazione dell'estremo superiore. Esempi. Estremo superiore e massimo.
  Un sottoinsieme non vuoto e limitato superiormente di N ha un massimo.
  La presentazione dei sedici assiomi dei numeri reali segue il testo [R].
  Complemento 1 (gli insiemi N, Z e Q)
  [Esercizi consigliati: [G3] 2.20; [GE] cap 3, par 3]

• Lezioni 8 e 9 [30/9/09] Un sottoinsieme di N non vuoto ha minimo. Proprietà archimedea. Se n > m sono numeri naturali, allora n-m è naturale. Definizione di insieme finito e infinito. I numeri interi. Un sottoinsime di Z limitato superiormente (inferiormente) ha massimo (minimo). Z è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione. I numeri razionali. Q è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione.

• Lezioni 10 e 11 [5/10/09] La funzione parte intera [x]. Se x < y sono due numeri reali, esiste un numero razionale r tale che x < r < y.
  Sia D = { r ∈ Q, r > 0 tale che r² < 2 } e s = sup D; allora s ∈ R \ Q. Esiste un unico x > 0 tale che x² = 2; tale x si denota con √2 ed appartiene a R \ Q.
  Definizione di successione.

• Lezioni 12 e 13 [12/10/09] Prima ora: Esistenza e unicità della radice n-ma (con n naturale) di un numero positivo (dimostrazione da [R]). Per ogni a,b > 0 e n naturale, a^1/n b^1/n = (ab)^1/n.
  Seconda ora: esercizi su sup e inf da [GE].

• Lezioni 14 e 15 [14/10/09] Gli intervalli di R. Intorni. Esempi di successioni. Definizione di limite di una successione ("con ε e N"); definizione equivalente ("con intorni"). lim 1/n=0. La successione (-1)ⁿ non ha limite.

• Lezioni 16 e 17 [19/10/09] Definizione di successione che tende a + ∞ o - ∞. Se lim |a|ⁿ= + ∞ e a_n ≠ 0 , allora lim 1/a_n=0.
  lim a^1/n=1 per ogni a > 0. lim n^1/n=1. lim aⁿ è 0 se |a|<1, 1 se a=1, + ∞ se a ≥ 1, non esiste se a ≤ -1. Serie geometrica: il limite di s_n:= 1+ a + a²+...+aⁿ è 1/(1-a) se |a|<1, ∞ se a ≥ 1, non esiste se a≤ -1.

• Lezioni 18 e 19 [21/10/09] Unicità del limite. Ogni successione convergente (ad un limite finito) è limitata. Teorema del confronto. Se lim a_n > M allora esiste N tale che a_n > M per ogni n ≥ N; Se lim a_n < M allora esiste N tale che a_n < M per ogni n ≥ N. Teorema della permanenza del segno. Se lim a_n = a, allora lim |a_n|=|a|. Operazioni con i limiti (par 4, cap 2 [G2]).

• Lezioni 20 e 21 [26/10/09] Prima ora: Successioni monotòne. Se { a_n } è monotona crescente [decrescente] allora lim a_n = sup { a_n: n ∈ N } [ lim a_n = inf { a_n: n ∈ N }]. La successione e_n=(1+1/n)ⁿ è strettamente crescente e 2 < e_n < 4; il lim e_n = e = numero di Nepero.
  Seconda ora: esercizi sui limiti.

• Lezioni 22 e 23 [9/11/09] Potenze con esponente razionali: definizioni e proprietà. Potenze con esponente reale (definizione tramite limite con esponenti razionali). [G2, cap 2, par 8]

• Lezioni 24 e 25 [11/11/09] Se {a_n} è una successione di numeri reali positivi tendente ad a > 0 e se x è un numero reale, allora lim a_n^x= a^x (continuità delle potenze). Per ogni x reale, lim (1+ x/n)^1/n=e^x.
  Definizione di serie. La serie geometrica. Serie a termini positivi: una serie a termini positivi o converge o diverge. Serie telescopiche. Σ_{n ≥1} 1/(n (n+1))=1; Σ 1/n² < ∞.

• Lezioni 26 e 27 [16/11/09] Criterio della radice e del rapporto per serie a termini positivi. Criterio di consendazione di Cauchy. La serie Σ 1/(n^s) converge se e solo se s>1. Una successione convergente è una successione di Cauchy. Se Σ a_n converge, allora lim a_n=0. Se una serie converge assolutamente allora converge. Criterio di Leibnitz per serie a segni alterni.

• Lezioni 28 e 29 [18/11/09] La serie esponenziale exp(x). exp(x)=e^x. Stime sui resti della serie esponenziale. e è irrazionale. Logaritmi: definizione e proprietà. Continuità dei logaritmi.
  Complemento 2 (Osservazioni su potenze, esponenziale e logaritmo)

• Lezioni 30 e 31 [23/11/09] Due limiti notevoli: se 0 ≠ a_n → 0 allora (exp(a_n) - 1)/a_n → 1; log (1 + a_n)/a_n → 1.
  Funzioni iperboliche: definizioni e proprietà.
  Definizione di seno e coseno per serie. Serie doppie. Dimostrazione per serie della formula di addizione per il coseno.
  Complemento 3 (Serie doppie)

• Lezioni 32 e 33 [25/11/09] Comportamento del seno e coseno vicino a 0. Limiti notevoli. Teorema di permanenza del segno per il coseno. Esistenza del primo zero positivo del coseno. Definizione di π. Valori di seno e coseno su multipli di π/2. Formula di addizione per il seno. Altre identità trigonometriche. Continuità del seno e del coseno.
  Complemento 4 (Coseno, seno e pi greco) (8/12/09)

• Lezioni 34 e 35 [30/11/09] Definizione di sottosuccessione. Definizione di limite superiore e limite inferiore. Ogni sottosuccessione di una successione convergente ammette lo stesso limite. Relazioni tra limite superiore/inferiore e sottosuccessioni.
  Complemento 5 (Sottosuccessioni. Massimo e minimo limite)

• Lezioni 36 e 37 [2/12/09] Il limite superiore coincide con l'estremo inferiore dei maggioranti definitivi e anche col massimo limite ottenibile tramite sottosuccessioni.
  Successioni limitate. Una successione di Cauchy è limitata. Teorema di Bolzano-Weierstrass: da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente ad un numero reale (dimostrazione con limsup e dimostrazione classica per bisezione). Teorema di Cauchy: una successione è di Cauchy se e solo se è convergente (ad un numero reale).
  Definizione di insieme numerabile. Un qualunque intervallo di R con più di un punto non è numerabile.

• Lezione 38 [4/12/09] L'unione numerabile di insiemi finiti è numerabile. L'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile. Il prodotto cartesiano di insiemi numerabili è numerabile. Q è numerabile. L'insieme 2^N delle successioni a valori in {0,1}. R ha la cardinalità di 2^N.
  Complemento 6 (Numerabilità e R) (4/12/09)

• Lezioni 39 e 40 [7/12/09] Topologia standard di R. Insiemi aperti e chiusi: proprietà generali ed esempi. Punti isolati, punti di accumulazione, derivato e frontiera di un insieme; interno e chiusura di un insieme. Topologia e successioni: caratterizzazione degli insiemi chiusi; insiemi compatti per successioni. I compatti di R sono gli insiemi chiusi e limitati.

• Lezioni 41 e 42 [9/12/09] Limiti di funzioni; teorema "ponte" (caratterizzazione per successioni). Teorema della permanenza del segno. Limiti di somme e prodotti di funzioni; limiti di funzioni composte. Funzioni continue; caratterizzazione in termini di limiti e successioni. La somma, il prodotto, il rapporto e la composizione (ove definiti) di funzioni continue sono continui. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue. Teorema di Weierstrass (una funzione continua su un compatto ammette massimo e minimo). Teorema degli zeri (dimostrazione basata sul teorema della permanenza del segno e dimostrazione per bisezione).

• Lezioni 43 e 44 [14/12/09] Teorema dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.
  Funzioni continue e topologia. Una funzione R in R è continua se e solo se la preimmagine di un aperto è aperta; estensione al caso di dominio arbitrario. Le funzioni continue mandano compatti in compatti e intervalli in intervalli. Esempi. Estensione dei limiti di funzioni ai casi che coinvolgono ∞.

• Lezioni 45 e 46 [16/12/09] Una funzione iniettiva e continua su un compatto ha inversa continua. Una funzione continua su un intervallo è iniettiva se e solo se è strettamente monotona. Una funzione iniettiva e continua su un intervallo ha inversa continua.
  Restrizioni e limiti da sinistra/destra. Limiti di funzioni monotone. Classificazione delle discontinuità. Una funzione monotona ha al più un'infinità numerabile di discontinuità.

• Lezioni 47 e 48 [21/12/09] Funzioni uniformemente continue. Se f è uniformemente continua su A e y è un punto d'accumulazione per A, esiste finito il limite di f(x) per x che tende a y. Estensione di funzioni uniformemente continue. Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto è ivi uniformemente continua. Una funzione uniformemente continua su di un insieme limitato è ivi limitata.

Diario delle esercitazioni (le parti in corsivo sono di teoria)
• Esercitazione 1 [23/9/09] [G3] esercizi 1.3, 1.4, 1.14, 1.15.

• Esercitazione 2 [25/9/09] [G3] esercizi 1.16, 1.17 (1 e 2). Disuguaglianza di Bernoulli.

• Esercitazioni 3 e 4 [2/10/09] [G2]: Cap 2, par 2 (il valore assoluto). Es 2.1, 2.2, 2.5, 2.11.
  [GE]: Es 31, cap 2.

• Esercitazioni 5 e 6 [9/10/09] Somma geometrica (per induzione e prova diretta). Se n è un numero naturale e a e b reali, allora aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a b^n-2 +...+b^n-1). Se s,t > 0, n naturale, allora s < t se e solo se sⁿ < tⁿ. Se 0 < s < t e n > 1 è intero allora: tⁿ-sⁿ < (t-s) n t^n-1. Formula del binomio di Newton (dimostrazione per induzione).
  Esercizi su sup e inf da [GE].

• Esercitazione 7 [14/10/09] [GE]: cap 2 es 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57. [G3]: es 2.20.

• Esercitazioni 8 e 9 [16/10/09] Esercizi sui limiti da [GE]: cap 3 es 1, 2, 5, 8, 10.

• Esercitazione 10 [21/10/09] [GE]: cap 3, es 1, 2, 4, 8, 37 (usando le proprietà dei limiti).

• Esercitazioni 11 e 12 [23/10/09] lim n^p A^-n = 0, per ogni p ≥ 0 e per ogni A > 1. Dimostrazione delle operazioni con i limiti nel caso in cui alcuni limiti siano ± ∞.
  [G2] es 2.2 (g). [GE]: cap 3, es dal 21 al 26, 29, 30, 31.

• Esercitazioni 13 e 14 [28/10/09] Esercizi sui limiti. Se a_n > 0 e lim a_n+1/a_n = L, allora lim (a_n)^1/n=L.

• Esercitazione 15 [28/10/09] Esercizi sui limiti da [GE], cap 3: 27, 28, 32, 33, 34, 35, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 45, 46, 47, 48.

• Esercitazioni 16 e 17 [30/10/09] Esercizi sui limiti da [GE], cap 3: 50, 53, 54, 55, 56, 57, 60, 61, 63, 67, 68, 72, 74, 75, 77, 88.

• Esercitazioni 18 [11/11/09] Correzione del primo esonero alla lavagna.

• Esercitazioni 19 e 20 [13/11/09] Criterio del confronto e confronto asintotico per serie a termini positivi.
  Σ 1/n^s = ∞, se s ≤ 1; Σ 1/n^s < ∞, se s ≥ 2.

• Esercitazione 21 [18/11/09] [G3]: esempio 6.18; es 6.16 (1, 2, 3, 4, 9).

• Esercitazioni 22 e 23 [20/11/09] [GE]: Cap 4, es 1, 2, 3, 4, 5, 7, 19, 20; esempi 1.2 e 1.3.

• Esercitazione 24 [25/11/09] [GE]: Cap 4., es 6, 9, 21, 28.

• Esercitazioni 25 e 26 [27/11/09] [G2]: Cap 2, es 14.1, 14.3, 14.4 (c), 14.5.

• Esercitazione 27 [2/12/09] [G2]: Cap 2, es 10.1 b), d), e).

• Esercitazione 28 [9/12/09] [GE]: Cap 3, esempio 2.1, es 96, 108.

• Esercitazioni 29 e 30 [11/12/09] [GE]: Cap 5, 87, 88, 91, 92, 94, 95, 96, 101, 103, 105, 106, 121. Esempi 5.3, 5.4.

• Esercitazione 31 [16/12/09] [GE]: Cap 5, es 107, 118, 139. [G3]: es 7.3 n. 2, 4, 5, 7, 8.

• Esercitazioni 32 e 33 [18/12/09] [G3]: es 5.10, n. 1, 2, 3, 4, 10; es 5.9 n. 7, 8, 9, 12.

• Esercitazioni 34 e 35 [12/11/10]

• Esercitazione 36 [14/1/10]

Esoneri ed esami

I Esonero: 3/11/09; 14:30-16:30, aula G.


Testo I esonero (con risposte)

II Esonero: 15/1/10; 10-12, aula G.


Testo II esonero (con risposte)

Appello A: 27/1/10; 10-13.


Testo appello A

Appello B: 19/2/10; 10-12.

Appello C: 5/7/10; 10-12.
Orali: 7/7/2010 ore 10:00, aula 211 (Dip Mat).

Appello X: 15/9/10; 10-12.

Bibliografia
[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio)
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1993 (edizione fuori commercio)

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[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: [email protected]