AM120 Analisi Matematica 2

AA 2011-2012 - II Semestre (L. Chierchia)

Esercitazioni: S. Mataloni

Indice
Avvisi
AM120 @ matrm3
Breve programma
AM120 aa 2010/2011
Orari
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Tutorato
Bibliografia
Esoneri ed esami
Varie

AVVISI

• ATTENZIONE: l'orario dell'appello X di lunedì 10/9/12 è: 16:00-18:00.

• Orario lezioni / esercitazioni / tutorato:
  - lezioni: lunedì e mercoledì 11:00 - 13:00 (Aula B3, complesso aule, Largo San L. Murialdo 1)
  - esercitazioni: mercoledì 14:00 - 15:00, venerdì 9:00-11:00 (Aula B3).
  - tutorato (Vincenzo Morinelli): giovedì 11:00-13:00 (Aula B3)

• Orario di ricevimento (L. Chierchia):
  Lunedì e mercoledì 17:00-18:00 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [20/2/12] Definizione di derivata. Interpretazione geometrica. Linearità della derivata. D (f(-x))=- (Df)(-x). Derivata di: xⁿ; e^x; log x; sen x; cos x. Le funzioni iperboliche e le loro derivate.
  Esercizi assegnati: [G2]: 7.1, 7.2 p. 183. [GE]: es 1-8 (da 1 a 8), cap 6, p. 129.

• Lezioni 3 e 4 [22/2/12] Una funzione derivabile è continua. Derivazione di prodotti, rapporti, funzione composte e funzioni inverse.
  Esercizi assegnati: [G2]: 1.1, 1.2 p. 199 . [GE]: 12-32, cap 6, p. 131-132.

• Lezioni 5 e 6 [27/2/12] Massimi e minimi relativi. Teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy. Una funzione differenziabile su di un intervallo è costante se e solo se ha derivata nulla. Una funzione differenziabile su di un intervallo è crescente se e solo se ha derivata non negativa.
  Esercizi assegnati: [G2]: 8.4, 8.6, 8.10, 8.12, cap 4, p. 186-187. [GE]: 52, 57, 60, 65, 69, 73, 78, 85, 88, cap 6, p. 139-141.

• Lezioni 7 e 8 [2/3/12] Teoremi di de l'Hopital-Bernoulli. Derivate successive. Condizioni necessarie e sufficienti affinchè un punto critico sia un massimo (minimo) relativo.
  Esercizi assegnati: [G2]: 8.4 e 8.5, cap 4, p. 186 (nell'es 8.5, si assuma che g'(x) è diversa da 0 per x > a). Es 1.1 e 1.2, cap 6, p. 231. Es. 2.5, cap 6, p. 235.

• Lezioni 9 e 10 [5/3/12] Formula di Taylor con resto di Lagrange.
  Esercizi assegnati: [G2]: 6.1, cap 6, p. 253; 6.5 e 6.6 cap 6, p. 254.

• Lezioni 11 e 12 [7/3/12] Funzioni convesse: relazione con il rapporto incrementale; esistenza delle derivate da sinistra e da destra; una funzione convessa è derivabile a meno di un insieme numerabile. Caratterizzazione della convessità per funzioni differenziabili e derivabili due volte con continuità. (vedi par 3, note Prof. Mancini AA 2010-2011 )
  Esercizi assegnati: [G2]: Es 3.1-3.5, cap 6, p. 240.

• Lezioni 13 e 14 [12/3/12] Intervalli; intervalli standard; funzioni caratteristiche e funzioni semplici. Integrale di funzioni semplici.
  Esercizi assegnati: [GE]: cap 6 es 60, 71, 80 p. 139-140; cap 6 es 219, 226 p. 155; es 266, 271 p. 169.

• Lezioni 15 e 16 [14/3/12] Linearità e positività dell'integrale di funzioni semplici. Definizione di funzione integrabile secondo Riemann. Caratterizzazioni dell'interabilità. Proprità elementari dell'integrale di Riemann: linearità, positività, se f è integrabile allora f₊, f_-, |f| sono integrabili; se f e g sono integrabili lo è anche fg.
  Esercizi assegnati: [G2]: Cap 4, es 3.1-3.5 p. 173, 174. [GE]: cap 6, es 62, 64, 72 p. 139-140; cap 6 229 p. 155; es 233 p. 157; es 274, 278 p. 169.

• Lezioni 17 e 18 [19/3/12] Integrabilità di: funzioni continue a supporto compatto; funzioni continue a tratti; funzioni monotone limitate. Integrale su intervalli. Il teorema fondamentale del calcolo.
  Esercizi assegnati: [G2]: Cap 4, es 5.1-5.5, p. 178; es 9.1, p. 192.

• Lezioni 19 e 20 [21/3/12] Definizione di primitiva. Definizione di integrale indefinito. Integrazione di funzione elementari. Integrazione per parti. Esempi (calcolo delle primitive di: xe^x, x^2 e^x, sin^2x, log x) Integrazione per sostituzione derivante dalla derivazione della funzione composta.
  Esercizi assegnati: Calcolare le primitive di: arctan x, e^x sen x.

• Lezioni 21 e 22 [23/3/12] [G2]: esempio pag 191 (funzione non continua in un punto con funzione integrale non derivabile in quel punto). [G2]: paragrafi 3,4,5,6,7A pag 202-216. Formula di iterazione per l'integrale I_n= 1/(1+x²)ⁿ

• Lezioni 23 e 24 [26/3/12] f integrabile allora f₊, f_{_} integrabili. f integrabile phi continua allora phi(f) integrabile. f, g integrabili allora fg integrabile.

• Lezioni 25 e 26 [30/3/12] Divergenza di |sin x| /x in (1,∞). Se f è su (0,b) per ogni b e |f| è integrabile su (0,∞) allora f è integrabile su (0,∞) e | ∫ f| ≤ ∫ |f|. Criterio di convergenza per serie a termini positivi: confronto integrale. Velocità di divergenza della serie arnonica.

• Lezioni 27 e 28 [16/4/12] Aree di figure piane comprese tra due grafici. Lunghezze di grafici di funzioni C¹.

• Lezioni 29 e 30 [18/4/12] Esempio di una funzione C^∞ che non coincide con la sua serie di Taylor.
  Convergenza puntuale e uniforme di successioni di funzioni. Integrazione e derivazione di successioni di funzioni.

• Lezioni 31 e 32 [23/4/12] Serie di funzioni: convergenza uniforme e totale. Serie di potenze: raggio di convergenza, derivazione e integrazione termine a termine.

• Lezioni 33 e 34 [2/5/12] Espansione in serie di Taylor di (1+x)^a, con a numero reale non intero, per |x| < 1. Espansione in serie di Taylor dell'arcoseno.

• Lezioni 35 e 36 [7/5/12] La serie esponenziale complessa exp(z) e relazioni col numero di Nepero. Teorema: e^x=lim (1 + x/n)ⁿ per ogni x reale. Il teorema d'addizione: exp(z+w)=exp(z) exp(w).

• Lezioni 37 e 38 [9/5/12] Fine della dimostrazione del teorema di addizione. Le funzioni sen, cos, senh e cosh sul campo complesso. Proprietà. Definizione analitica di π (come il doppio del primo zero reale e positivo di cos x).

• Lezioni 39 e 40 [14/5/12] Proprietà di periodicità dell'esponenziale e delle funzioni trigonometriche (in campo complesso). Rivisitazione rigorosa dei grafici di seno e coseno. Proprietà di iniettività dell'esponenziale compesso.

• Lezioni 41 e 42 [16/5/12] Il teorema fondamentale dell'algebra: prerequisiti (funzioni continue su C; il teorema di Weierstrass su rettangoli di C; dall'esistenza di uno zero di un polinomio su C alla fattorizzazione standard); dimostrazione di Artin.
  Appunti sui numeri complessi; esponenziale e funzioni trigonometriche.
  Dimostrazione del Teorma Fondamentale dell'algebra [R].

Diario delle esercitazioni (le parti in corsivo sono di teoria)
• Esercitazione 1 [22/2/12] Derivazione delle funzioni elementari mediante limite di rapporto incrementale (a^x, log_a x), mediante uso delle regole di derivazione (tan x), mediante teorema di derivazione della funzione inversa (arc sen x, arc tan x ).

• Esercitazioni 2 e 3 [24/2/12] [GE]: esempio 1.1, 1.2; es 1, 9, 10, 11, cap 6, p. 129; es 14, 15, 16, 17, 18, 20, cap 6, pag 131.

• Esercitazioni 4, 5 e 6 [29/2/12] [GE]: es 34, 35, cap 6, p. 132; es 36, 37, 38, esempio 3.1, cap 6, p. 133; esempio 3.3, cap 6, p. 134; es 51, 57, cap 6, p.139.
  Invertibilità delle funzioni iperboliche. Relazione con i logaritmi. Calcolo delle derivate di: settsenh x, settcosh x, setttan x mediante teorema di derivazione delle funzioni inverse e mediante la derivazione del logaritmo.

• Esercitazione 7 [7/3/12] Esercizi su convessità e grafici.

• Esercitazioni 8 e 9 [9/3/12] Polinomi di Taylor di: e^x, sen x, cos x, senh x, cosh x, log (1+x), log (1-x).
  [GE]: Cap 6, es 134, 135, 160 e 148 (sia con l'Hopital che con Taylor); grafico di (1-x)/(x³ + 3) (l'es 265 ha x² + 3 a denominatore..).

• Esercitazione 10 [14/3/12] Studio di funzioni: [GE] es 265 pag 169; exp(f(x)) con f(x) come nell'esercizio precedente.

• Esercitazioni 11 e 12 [16/3/12] Polinomi di Taylor di: (1+x)^a e in particolare con a= -1, -1/2, e x=-y x=-y^2; arctan x, arcsen x.
  Studio del grafico di funzioni: Esempio 10.3 pag 167 [GE].

• Esercitazione 13 [21/3/12] Integrazione di funzioni razionali: costante su retta, retta su retta, costante o retta su parabola nei tre casi: polinomio di secondo grado irriducibile, con radice reale doppia e due radici reali e distinte.

• Esercitazioni 14 e 15 [28/3/12] Integrale improprio definizione ed esempi: integrale di x^a in (0,1) e (1,∞). Covergenza di sin x /x in (1,∞). Grafico di sin x /x.

• Esercitazione 16 [28/3/12] Calcolo di primitive ed integrali definiti.

• Esercitazione 17 [18/4/12] [GE]: esempi 8.1, 8.2, 8.3, cap 8, p. 201.

• Esercitazioni 18 e 19 [20/4/12] Enunciati criterio del confronto e dell'assoluta integrabilità�[GE] p.20.
  [GE]: esempio 8.5, cap 7, p. 205; esempio 8.6, cap.7, p.206; esempio 8.7, cap.7, p.206.
  Esercizio 1, 4, 6, p.7 ed esercizio 1 p. 1 in: Esercizi aa 2011-12

• Esercitazioni 20 e 21 [27/4/12] Esercizi su convergenza uniforme di successioni. Convergenza totale uniforme puntuale (semplice e assoluta) della serie con termine generico (cos (nx))/(n^2); x^n/n; x/(1+x)^n.

• Esercitazioni 22 e 23 [30/4/12] Espansione in serie di Taylor di varie funzioni elementari.

• Esercitazione 24 [2/5/12] [GE2]: esempio 1.2, cap. 2, p. 33; es. 42-46, cap.2, p. 40.

• Esercitazioni 25 e 26 [4/5/12] [G3]: esempi 9.7-9.8-9.9, cap. 9, p. 327. Area della circonferenza di centro l'origine e raggio r. [Gam2]: es. 2.2 a) b) cap. 7, p. 284.

• Esercitazioni 27 [9/5/12] Disuguaglianze:
  a) xy≤ x^p/p+y^q/q (con x,y≥0 e 1/p+1/q=1);
  b) |a+b|/(1+|a+b|) ≤ |a|/(1+|a|)+|b|/(1+|b|) a, b reali;
  c) e^x≥ 1+x x reale e x≥ log(1+x) per x > -1.
  Convergenza della serie di termine generico x^(2n)/sqrt(n) log(1+x^2/sqrt(n)).

• Esercitazioni 28 e 29 [11/5/12] Convergenza uniforme di successioni di funzioni.
  Es: Sia f_n=nxe^(-n^2x^2). Trovare a,b reali (a < b) con la proprietà che f_n converga uniformemente in [a,b]. Mostrare che in [0,1] non si ha convergenza uniforme ma il limite dell'integrale di f_n è l'integrale del limite.
  Es: Sia f_n convergente a f uniformemente in I; x_n, x in I e x_n convergente a x. Mostrare che f_n(x_n) converge a f(x).
  Es: f_n=n^(alpha) xe^(-n^2x^2). Studiare convergenza uniforme al variare di alpha e mostrare che per alpha=0 non vale il teorema di passaggio al limite sotto il segno di derivata perché si ha solo convergenza puntuale.
  [GE2] esercizi 52, 53 cap 1, p. 20.

• Esercitazioni 30 e 31 [16/5/12] Integrazione per serie allo scopo di risolvere integrali definiti di funzioni non integrabili elementarmente:
  integrale su [0,1] di e^(x^2)
  integrale su [0,1] di e^(-x^2) con un errore inferiore a 0.001
  integrale su [0,1] di sin x/x con sei cifre decimali esatte
  integrale su [0,1] di log(1+x)/x
  integrale su [0,1] di log x/(x+1)

• Esercitazioni 32 e 33 [18/5/12] Integrali impropri: formule iterative su intervalli illimitati: esempi 2, 3, 4;
  funzione integrabile non assolutamente integrabile: controesempio 2
  integrali di funzioni non limitate in intervalli limitati: esercizi 7, 8, 9

• Esercitazioni 34 e 35 [21/5/12] Costruzione di funzioni C-infinito a supporto compatto.

• Esercitazioni 36, 37 e 38 [23/5/12] Risolvere le seguenti equazioni: z^2=(z coniugato)^2; ((exp z)^3-5i exp z)(z^3-8i)=0; exp(8z)+(2-i)exp(4z)-2i=0; exp(exp z)=sqrt 3/2+i/2
  Risolvere il sistema seguente (z,w complessi): exp z*exp w=-1+i ^ exp z+exp w=-1-2i
  Risolvere il sistema seguente (x,y reali) risolvendo un'equazione complessa opportuna x^2-y^2+4x+5=0 ^ 2xy+4y=0
  Studiare la convergenza semplice assoluta uniforme e totale al variare di alpha della serie con termine generico (log x)^k/k^(alpha).

• Esercitazioni 39 e 40 [24/5/12] Esercizi su: integrali impropri; numeri complessi.

• Esercitazioni 41 e 42 [25/5/12] Esercizi su: formula di Taylor; serie di Taylor; numeri compessi (parte reale e immaginaria di tan z).

Esoneri ed esami

I Esonero:11/4/12; 10:00-12:00, aula G.
Testo


II Esonero:30/5/12; 10:00-12:00, aula G.
Testo

Appello A: 14/6/12, 10:00-12:00 (scritto); 18/6/12, 9:00, aula B3 (orale)
Testo

Appello B: 9/7/12, 10:00-12:00 (scritto); 13/7/2012, aula 211 (orale)

Appello X: 10/9/12, 16:00-18:00 (scritto)

Appello C: 9/1/13, 10:00-12:00 (scritto)

Tutorato (Tutore: Vincenzo Morinelli)
• Esercizi svolti (1)
• Esercizi proposti (2)
• Soluzioni Primo Esonero
• Esercizi proposti (26/4/12)
• Soluzioni degli esercizi del 26/4/12
• Tutorato del 3/5/12
• Tutorato del 10/5/12

Bibliografia
[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio)
[Gam2] Giusti, E.: Analisi Matematica 2, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2003
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
[GE2] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Secondo, Bollati Boringhieri, 2000
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1993 (edizione fuori commercio)

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[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)

Varie

Calculus Rhapsody.flv

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: luigi (at) mat.uniroma3.it