Dipartimento di Matematica

Roma TRE




AL1 - Algebra 1: Fondamenti

a.a. 2006/2007 - I Semestre


Diario delle Lezioni
Settimana 1 (25 e 27 Settembre): Introduzione al corso. Insiemi e sottoinsiemi. Insieme vuoto. Operazioni con gli insiemi: unione, intersezione, differenza, unione disgiunta. Metodi di dimostrazione.
 
Settimana 2 (2 e 4 Ottobre):  L'insieme delle parti di un insieme. Elementi di calcolo combinatorio. Il prodotto cartesiano di insiemi. Corrispondenze e relazioni binarie. Grafici. Le proprietà riflessiva, simmetrica, antisimmetrica, transitiva. Relazioni di ordine. Terminologia: maggioranti e minoranti, elementi massimali e minimali, massimi e minimi, estremo superiore e inferiore. Esempi di relazioni totali e parziali.

Settimana 3 (11 e 12 Ottobre): Funzioni di insiemi. Particolari funzioni: operazioni binarie, famiglie di insiemi, n-ple, successioni. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Composizione di funzioni. Corrispondenza inversa di una funzione.  Controimmagine di un insieme. Funzione inversa di una funzione biiettiva. Il gruppo delle applicazioni biunivoche di un insieme in se stesso. Permutazioni su n elementi. Funzioni caratteristiche.

Settimana 4 (16 e 18 Ottobre): Relazioni di equivalenza e classi di equivalenza. Partizioni di un insieme. Corrispondenza biunivoca tra relazioni di equivalenza e partizioni. Insieme quoziente. Suriezione canonica di un insieme su un suo insieme quoziente. Relazione nucleo associata a una funzione. Teorema di decomposizione di una funzione.

Settimana 5 (23 e 25 Ottobre): Assiomi di Peano. Principio di induzione matematica e principio di induzione forte. Principio del buon ordinamento. Dimostrazioni per induzione e definizioni ricorsive. Esempi. Cenni sulla costruzione di Z e Q. Algoritmo euclideo della divisione in Z.

Settimana 6 (30 Ottobre): Prime proprietà aritmetiche di Z: esistenza del MCD e mcm, algoritmo euclideo delle divisioni successive per il calcolo del MCD, Identità di Bezout. Scrittura in base b.

Prima prova di valutazione intermedia (9 Novembre)

Settimana 7 (13 e 15 Novembre): Lemma di Euclide. Numeri primi e loro caratterizzazioni. Crivello di Eratostene. Teorema Fondamentale dell'Aritmetica. Infinità dei numei primi.
Operazioni: operazioni associative e commutative, elementi neutri e simmetrizzabili. Notazione additiva e moltiplicativa. Strutture algebriche: definizione di Gruppo, Anello, Anello commutativo unitario, Campo. Costruzione del campo complesso.

Settimana 8 (20 e 22 Novembre): Definizione di sottostruttura algebrica, omomorfismo e isomorfismo di strutture algebriche, relazioni compatibili con le operazioni.
Rappresentazione dei numeri complessi nella forma a+bi. Il piano di Argand-Gauss. Norma e modulo di un numero complesso. Forma trigonometrica. Formule di De Moivre per la moltiplicazione di numeri complessi in forma trigonometrica. Radici n-sime di numeri complessi. Radici di un numero reale e loro rappresentazione nel piano complesso. Il gruppo moltiplicativo delle radici n-sime dell'unità; radici primitive.

Settimana 9 (27 e 29 Novembre): Elementi invertibili, zero-divisori e cancellabili di un anello commutativo unitario. Il gruppo delle unità di un anello commutativo unitario. La relazione di congruenza modulo n. L'anello Zn delle classi resto modulo n. Elementi invertibili e zero divisori di Zn . Zn è un campo se e soltanto se n=p è un numero primo. Inversi aritmetici di un numero intero.  Il gruppo moltiplicativo delle radici n-sime dell'unità è isomorfo a  (Zn , +).  Criteri di divisibilità.

Settimana 10 (5 e 6 Dicembre): Risoluzione delle congruenze lineari e dei sistemi di congruenze lineari. Teorema Cinese dei Resti. Definizione e calcolo della funzione di Eulero. Il Teorema di Eulero-Fermat.
Definizione e prime proprietà degli anelli di polinomi a coefficienti in un anello commutativo unitario. Il caso integro. La formula del grado.

Settimana 11 (11 e 13 Dicembre): Divisibilità in A[X]. Polinomi invertibili ed associati. La  divisione col resto in K[X].  Algoritmo delle divisioni successive per il calcolo di un massimo comune divisore.  Identità di Bezout. Lemma di Euclide. Polinomi irriducibili e loro caratterizzazioni. Teorema di fattorizzazione unica in K[X].
Radici di polinomi. Il teorema del resto. Relazione tra l'esistenza di radici e la riducibilità di un polinomio in K[X].

Settimana 12 (18 e 20 Dicembre): Polinomio derivato. Radici multiple. Polinomi a coefficienti numerici. Enunciato del Teorema Fondamentale dell'Algebra. Polinomi irriducibili in R[X] e C[X]. Ricerca di radici di polinomi a coefficienti razionali. Polinomi a coefficienti interi. Polinomi primitivi. Il Lemma di Gauss. Teorema di fattorizzazione unica in Z[X]. Criterio di irriducibilità di Esenstein. Criterio di irriducibilità modulo p.

Seconda prova di valutazione intermedia (11 Gennaio)