Settimana 3: L'ordine di un elemento. Esempi. L'ordine di un elemento uguaglia l'ordine del sottogruppo da esso generato. Generatori di un gruppo ciclico. Sottogruppi di un gruppo ciclico. Il caso di Z, Zn e del gruppo delle radici complesse n-sime dell'unità.
Settimana 4: Classi laterali rispetto a un sottogruppo H di G. Partizioni e relazioni di equivalenza determinate su G dalla famiglia dalle classi laterali sinistre (destre) rispetto a H. Esempi. Il Teorema di Lagrange e alcune sue conseguenze. Sottogruppi normali. Gruppi quozienti. Esempi.
Settimana 5: Quozienti di gruppi ciclici. Omomorfismi ed isomorfismi di gruppi. Esempi. Ogni gruppo ciclico è isomorfo a Z oppure a Zn. Il gruppo Aut(G) degli automorfismi di un gruppo G. Automorfismi interni. Automorfismi di un gruppo ciclico.
Settimana 6: Coniugio e classi coniugate. Il nucleo di un omomorfismo e la relazione di equivalenza associata. Il primo Teorema di Omomorfismo. Omomorfismi tra gruppi ciclici e gruppi finiti. Il gruppo degli automorfismi interni di G è isomorfo a G/Z(G).
Settimana 7: Corrispondenza tra i sottogruppi di un gruppo e quelli di un suo quoziente. Secondo e terzo Teorema di Omomorfismo. Teorema di Caylay. Prodotti diretti e semidiretti. Cenni sui gruppi semplici e il problema della classificazione.
Settimana 8: Elementi invertibili e zerodivisori di un anello. Domini di integrità e campi. Anelli di matrici e di polinomi su un anello. Prodotto diretto di anelli e anelli di funzioni. Ideali. Intersezione e somma di ideali. Ideali principali e finitamente generati. Anelli quoziente.
Settimana 9: Omomorfismi di anelli. Il nucleo di un omomorfismo e la relazione di equivalenza associata. Il primo Teorema di Omomorfismo. Corrispondenza tra gli ideali di un anello e quelli di un suo quoziente. Ideali massimali. Caratterizzazione degli ideali massimali di anelli commutativi unitari tramite i quozienti. Domini a ideali principali. Massimo comune divisore e minimo comune multiplo. Cenni sulle algebre booleane.
Settimana 10: Polinomi a coefficienti in un dominio integro:
costruzione, grado, elementi invertibili e irriducibili. Algoritmo
della divisione in K[X]. Esistenza in K[X] di un MCD e di una
identità di Bezout.
Domini Euclidei. Elementi invertibili di un
dominio euclideo. Un dominio Euclideo è a ideali principali.
Quozienti di domini euclidei e loro ideali.
Settimana 11: Domini a fattorizzazione unica. Un
dominio euclideo è a fattorizzazione unica. Elementi primi di un
dominio. Esempi di fattorizzazioni in elementi irriducibili ma non
primi. Il campo dei
quozienti di un dominio.
Settimana 12: Lemma di Gauss. Anelli di polinomi su domini a
fattorizzazione unica. Numeri algebrici e trascendenti. Il polinomio
minimo di un numero algebrico. Ampliamenti algebrici semplici del campo
dei numeri razionali.
Settimana 13: Ampliamenti di campi. Ampliamenti semplici di campi numerici e loro dimensione come spazi vettoriali. Ampliamenti finitamente generati e loro dimensione. Cenni sugli ampliamenti di Zp.