AL02 - Algebra 2, gruppi, anelli e campi

1. Lezioni 1 e 2 [20/09/10] Presentazione del corso. Definizione di gruppo e prime proprietà. Ripasso degli argomenti sui gruppi svolti in AL1
2. Lezioni 3 e 4 [22/09/10] Ancora esempi di gruppi: i gruppi (Z,+), (Q,+), (R,+),(C,+),(Q^*,x), (R^*,x), (C^*,x), (Z_m,+), ... Ripasso sulle proprietà delle permutazioni. Decomposizione come prodotto di cicli disgiunti, esempi vari. L'ordine di un elemento in un gruppo. Elementi di ordine finito e infinito. Proprietà dell'ordine.
3. Lezioni 5 e 6 [24/09/10] Ancora proprietà dell'ordine. Esercizi vari sulle permutazioni, ordine di una permutazione.
4. Lezioni 7 e 8 [27/09/10] Ancora esercizi sulle permutazioni. Prodotto di trasposizioni. Parità delle permutazioni. Il gruppo A_n delle permutazioni pari. La nozione di sottogruppo. Criteri per la verifica che un sottoinsieme è un sottogruppo. Esempi vari.
5. Lezioni 9 e 10 [29/09/10] Sottogruppo generato da un sottoinsieme di un gruppo. Gruppi finitamente generati. Gruppi ciclici. Gruppi ciclici e ordini degli elementi. I sottogruppi di S₃ e Z₆. Intersezione di sottogruppi. Classi laterali (destre e sinistre).
6. Lezioni 11 e 12 [01/10/10] Classi laterali. Proprietà e caratterizzazioni delle classi laterali. Esempi: Le classi laterali di un sottogruppo di Z. Classi laterali del sottogruppi di S₃. Cardinalità delle classi laterali. L'indice di un sottogruppo. Il teorema di Lagrange e sue conseguenze (l'ordine di un sottogruppo divide l'ordine di un gruppo).
7. Lezioni 13 e 14 [04/10/10] Altri esempi di gruppi: Il gruppo H dei quaternioni e il reticolo dei suoi sottogruppi, prodotti diretti di gruppi. Gruppi di ordine 8. Sottogruppi Normali. Esempi e proprietà dei sottogruppi normali. Definizione di gruppo semplice. Criterio per la verifica che un dato sottogruppo è normale.
8. Lezioni 15 e 16 [06/10/10] (esercitazione) prodotto diretto di gruppi, esercizi su gruppi, sottogruppi e classi laterali, primi esercizi sui sottogruppi normali.
9. Lezioni 17 e 18 [08/10/10] Elementi e sottogruppi coniugati. Caratterizzazioni per i sottogruppi normali. Il centro di un Gruppo. Esempi. Il gruppo GL_n(K) e i suoi sottogruppi SL_n(K), Λ_n(K) (matrici scalari), D_n(K) (matrici diagonali), T⁺_n(K) (triangolari superiori), O_n(K) (ortogonali). Il gruppo dei quaternioni come sottogruppo di GL₂(C). Il gruppo di Heisenberg.
10. Lezioni 19 e 20 [11/10/10] Sottogruppi normali e quozienti di gruppi. Esempi e applicazioni. Omomorfimi di gruppi e prime proprietà.
11. Lezioni 21 e 22 [13/10/10] Lezione annullata a causa della sospensione dell'attività didattica.
12. Lezioni 23 e 24 [15/10/10] Omomorfismi di gruppi e loro proprietà. Nucleo e Immagine di un omomorfismo Esempi e proprietà. Definizione del gruppo diedrale D₄ come sottogruppo di S₄. Proprietà del gruppo diedrale.
13. Lezioni 25 e 26 [18/10/10] Ancora sul gruppo diedrale D₄. Il gruppo D_n. Ancora sul nucleo e l'immagine di un omomorfismo. Il Teorema fondamentale di Omomorfismo. Il Teorema di Corrispondeza tra sottogruppi in un omomorfismo. Il secondo e terzo teorema di omomorfismo (senza dimostrazioni).
14. Lezioni 27 e 28 [20/10/10](esercitazione) Esercizi su sottogruppi normali, gruppi quoziente e centro di un gruppo.
15. Lezioni 29 e 30 [22/10/10] Il gruppo degli automorfismi di un gruppo. Automorfismi interni. G/Z(G) ≅ Inn(G). Esempi: il gruppo degli automorfismi di Z_n. Il gruppo degli automorfismi di S_n. Il Teorema di Cayley e suoi corollari. Esempi e applicazioni. Prodotti di gruppi.
16. Lezioni 31 e 32 [25/10/10] Ancora sui prodotti di gruppi. Classificazione dei gruppi ciclici. Proprietà dei gruppi ciclici. Esempi. Enunciato del Teorema di Classificazione dei gruppi abeliani finiti.
17. Lezioni 33 e 34 [27/10/10](esercitazione) esercizi su omomorfismi ed automorfismi. Se G e G' sono gruppi abeliani Hom(G,G') e' un gruppo rispetto alla somma puntuale. Dati n ed m interi positivi |Hom(Z_n,Z_m)| = d = gcd(m,n). Automorfismi interni di D_n. Un automorfismo esterno del gruppo di Klein. I gruppi abeliani di ordine 180.
18. Lezioni 35 e 36 [29/10/10] (esercitazione) Esercizi vari e soluzione del compito di metà semestra del corso di AL2 dell'AA 2009/2010.
19. COMPITO [02/11/10] Prima prova in Itinere ore 9:30
20. Lezioni 37 e 38 [10/11/10] Correzione prima prova in itinere.
21. Lezioni 39 e 40 [12/11/10] Definizione di Anello. Annelli unitari, commutativi, integri, domini, corpi e campi. Esempi. Divisori dello zero e elementi cancellabili, elementi nilpotenti, elementi invertibili. Quaternioni di Hamilton (inizio).
22. Lezioni 41 e 42 [15/11/10] Ancora sui quatrenioni. I quaternioni son un corpo non commutativo. La nozione di sottoanello. Esempi. La nozione di ideale DX, SX e bilatero.
23. Lezioni 43 e 44 [17/10/10](esercitazione) Esercizi su anelli, sottoanelli ed ideali. Un sottoanello di un anello non unitario puo' essere unitario. La somma di ideali destri (risp., sinistri) e' un ideale destro (risp., sinistro). Sottoanelli di C del tipo Z[\sqrt{d}], elementi invertibili di Z[\sqrt{d}]. L'anello A^S delle applicazioni di un insieme non vuoto S in un anello A: studio della commutativita', esistenza dell'unita' ed integrita'.
24. Lezioni 45 e 46 [19/11/10] Ancora sugli ideali. Ideli e sottoanelli. Intersezione e unione di ideali. L'ideale (SX, DX o bilatero) generato da un sottoinsieme. Anelli a ideali principali. Anelli senza ideal e campi. Corpi senza ideali. La nozione di anello quoziente. Ideali primi a massimali (inizio).
25. Lezioni 47 e 48 [22/11/10] Dimostrazione dei teoremi di caratterizzazione per ideali primi e massimali in anelli commutativi unitari. Lemma di Zorn. Il teorema di Krull sull'esistenza di ideali massimali in anelli commutativi unitari. Definizione di anello locale. Definizione e prime proprieta' degli omomorfismi di anelli.
26. Lezioni 49 e 50 [24/10/10] Teorema di corrispondenza. Primo, secondo e terzo teorema di omomorfismo di anelli.
27. Lezioni 51 e 52 [26/11/10] (esercitazione) Esercizi su ideali primi e massimali. Esercizi su omomorfismi di anelli.
28. Lezioni 53 e 54 [29/11/10] Ogni anello può essere immerso in un anello unitario. La nozione di campo dei quozienti. Esistenza e unicità del campo dei quozienti.
29. Lezioni 55 e 56 [01/12/10] Ancora proprietà dei campi dei quozienti. Estenzioni semplici. Definizione di anello dei polinomi. Esempi. Esistenza e unicità dell'enello dei polinomi di qualsiasi anello unitario. Esempi e applicazioni.
30. Lezioni 57 e 58 [03/12/10] Ancora sugli anelli di polinomi. In grado di un polinomio, polinomi monici, proprietà del grado. Divisione tra polinomi. Divisibilità in un anello. Elementi primi e irriducibili. Anelli a fattorizzazione unica.
31. Lezioni 59 e 60 [06/12/10] Ancora sugli anelli a fattorizzazione unica. Ogni irriducibile è primo Proprietà varie degli anelli a fattorizzazione unica. Domini euclidei e loro proprietà. Ogni dominio euclideo è a fattorizzazione unica. L'anello dei polinomi a coefficienti in un campo è Euclideo.
32. Lezioni 59 e 60 [06/12/10] (esercitazione): Esercizi su domini euclidei e domini principali. (esercitazione)
33. [10/12/10] LEZIONE ANNULLATA
34. Lezioni 61 e 62 [13/12/10] Caratterizzazione degli anelli a fattorizzazione unica in termini delle catene ascendenti di ideali principali. Massimo comun divisore in un UFD. Ogni PID è un UFD.
35. Lezioni 63 e 64 [15/12/10] Domini principali. Ideali primi ed elementi primi. Ideali massimali ed elementi irriducibili nei PID. Ancora sugli anelli Euclidei. Gli interi di Gauss sono un dominio Euclideo. Primi come somma di due quadrati.
36. Lezioni 65 e 66 [17/12/10]
37. Lezioni 67 e 68 [20/12/10] Irriducibilità dei polinomi a coefficienti in un dominio fattoriale. L'anello dei polinomi a coefficienti in un dominio fattoriale è fattoriale. Criterio di irriducibilità di Eisenstein per A[X] con A dominio principale.
38. Lezioni 69 e 70 [20/12/10] Esercizi di preparazione alla seconda prova di esonero.
39. Lezioni 71 e 72 [22/12/10] Esercizi vari sugli anelli tratti dal capitolo 11 del libro di testo.

1. Tutorato 1: 27 Settembre 2010
2. Tutorato 2: 4 Ottobre 2010
3. Tutorato 3: 11 Ottobre 2010
4. Tutorato 4: 18 Ottobre 2010
5. Tutorato 5: 25 Ottobre 2010
6. Tutorato 6: 29 Novembre 2010
7. Tutorato 7: 15 Novembre 2010
8. Tutorato 8: 22 Novembre 2010
9. Tutorato 9: 29 Novembre 2010
10. Tutorato 10: 13 Dicembre 2010
11. Tutorato 11: 4 Gennaio 2010
12. Tutorato 12: 4 Gennaio 2010

Esoneri/Esami: