CR3 - Curve Ellittiche in Crittografia

1. Luned� [17/02/09]: Introduzione al corso, Il problema delle palle di cannone, il problema dei numeri congruenti, Soluzione dell'Ultimo Teorema di Fermat nel caso n=3,4 usando curve ellittiche.
2. Mercoled� [19/02/09]: L'equazione di Weierstrass, L'equazione di Weierstrass generalizzata. Richiami sullo spazio proiettivo e sui polinomi omogenei, Il punto all'infinito di un'equazione di Weierstrass. La definizione della somma di punti su una curva ellittica, Formule per la somma di punti.
3. Gioved� [20/02/09]: La struttura del gruppo E(R) e E(C), enunciato del Teorema di struttura di E(F_q) e del Teorema di Hasse. La struttura del gruppo E(Q) e Enunciato del Teorema di Mordell-Weil. Pseudo codice per l'algoritmo dei quadrati successivi, Equazioni parametriche delle rette proiettive. Molteplicit� di intersezione tra retta e curva nel piano proiettivo. Retta tangente. Punti singolari. Generalit� sulla Teoria classica delle curve proiettive.
4. Luned� [24/02/14]: ancora generalit� sulla Teoria classica delle curve proiettive. Preparazione alla dimostrazione dell'associativit� della somma di punti su curve ellittiche. Equazione di Legendre per curve ellittiche. Curve ellittiche definite da equazioni cubiche, curve ellittiche definite da equazioni quartiche.
5. Mercoled� [26/02/14]: Curve ellittiche come intersezione di due quadriche. Altri sistemi di coordinate (coordinate proiettive, coordinate Jacobiane, coordinate di Edwards). Definizione di invariante j di una curva ellittica, curve ellittiche con invariante j = 0,1728, propriet� dell'invariante j.
6. Luned� [03/03/14]: Altre propriet� del invariante j. Automorfismi di una curva ellittica. Curve ellittiche in caratteristica 2, l'equazione di Weierstrass � singolare in caratteristica 2, i due tipi di equazioni di Weierstrass in caratteristica 2 (caso 1: y²+xy=x³+b₂x²+b₆, b₆≠ 0 e caso 2: y²+b₃y=x³+b₄x+b₆, b₃≠ 0), operazione sui punti di una curva definita da un'equazione di Weierstrass generalizzata, inversione di punti su un equazione di Weierstrass generalizzata, formule per la duplicazione di punti per le curve ellettiche in caratteristica due. Endomorfismi (inizio)
7. Mercoled� [05/03/14]: Endomorfismi (continua). forma ridotta degli endomorfismi, grado degli endomorfismi, endomorfismi separabili, esempi. il nucleo degli endomorfismi vs il grado. esempi. Endomorfismo di Frobenius.
8. Gioved� [06/03/09]: Propriet� degli endomorfismi. Criteri per la separabilit�. Separabilit� e endomorfismo di Frobenius, esempi.
9. Luned� [10/03/14]: Il gruppo dei punti non singolari di un equazione di Weierstrass Singolare. Classificazione dei possibili gruppi. Riduzione additiva, moltiplicativa split e moltiplicativa non split. Esempi.
10. Mercoled� [12/03/14]: La struttura dei gruppi E[n] di n-torsione (inizio). Esempi: Calcolo della 2-torsione e della 3-torsione in tutti i casi. Definizione dei polinomi di divisione e loro propriet�. Definizione dei polinomi di divisione ψ_m(x,y), φ_m(x,y) e ω_m(x,y), propriet� dei polinomi di divisione, enunciato del Teorema:[n](x,y)=(φ_n(x)/ψ_n²(x),ω_n(x,y)/ψ_n(x,y)³).
11. Gioved� [13/03/09]: Ancora sulla struttura dei gruppi E[n] di n-torsione. Inizio della dimostrazione del Teorema di Struttura: Data una curva ellittica E/K, se #E[n]=n² e n � coprimo con la caratteristica, allora E[n]≅ Z/nZ⊕Z/nZ. I Polinomi di divisione e l'endomorfismo [n]. Il grado dei polinomi di n-torsione. Altre propriet�. Calcolo del grado e dei coefficienti dei termini di grado massimo di φ_n(x) e ψ_n²(x). Riduzione al calcolo del grado della moltiplicazione per n.
12. Luned� [17/03/14]: Fine dimostrazione del fatto che il grado per la moltiplicazione per nn � pari a n². Spazio proiettivo su un anello. La nozione di curva ellittica su un anello. La nozione di Anello ACE (Adatto alle Curve Ellittiche), Z � ACE, I campi sono ACE, le formule di somma di punti per curve ellittiche definite su anelli ACE (solo cenni), esempio y²=x³-x+1 su Z/25Z, E(Z/n₁n₂Z) ≅ E(Z/n₁Z)⊕ E(Z/n₂Z), la mappa di riduzione,
13. Mercoled� [19/03/14]: Curve ellittiche modulo n. L'accoppiamento di Weil.
14. Gioved� [20/03/09]: Lezioni presentate da
    P. Stevenhagen (Leiden): Introduction to Elliptic Curves Cryptography
    P. Moreee (Bonn): Enumeration of RSA numbers

    Luned� [24/03/14]: Accoppiamento di Weil. Conseguente delle propriet� dell'accoppiamento di Weil. Formula per il grado di aα+bβ dove α e β sono endomorfismi e a,b sono interi. Curve su campi finiti, esempi di curve: E: y² = x³+x+1 su F₇, E: y² = x³+2 su F₇, E: y² + xy + x³ +1 su F₂ e su F₄, Teorema di struttura per E(F_q), enunciato del Dimostrazione del Teorema di Hasse ( |#E(F_q)-(q+1)| ≤ 2√q ). Il polinomio caratteristico di Frobenius (X²-a_q(E) X + q) e le sue radici (α e β).

    Mercoled� [26/03/14]: Propriet� dell'endomorfismo di Frobenius ( E(F_q^r)=Ker(F_q^r - 1)=deg( F_q^r - 1 ) ). Enunciato del Teorema di Waterhouse e di Ruck. Dimostrazione del Teorema di Hasse ( |#E(F_q)-(q+1)| ≤ 2√q).

    Gioved� [27/03/09]: Ancora propriet� del Frobenius ( Φ_q soddisfa il suo polinomio caratteristico ). Calcolo del numero dei punti razionali di una curva ellittica su un campo finito, il metodo del sottocampo ( #E(F_qⁿ) = qⁿ + 1 + αⁿ + βⁿ ). Il metodo dei simboli di Legendre. La nozione di curva twist.

    Venerd� [04/04/14]: INCONTRO PER DISCUSSIONE INFORMALE SULLO STATO DI SVOLGIMENTO DEGLI ESERCIZI. Aula F ore 14:30.

    Luned� [07/04/14]: Teoremi vari sulla struttura del gruppo dei punti razionali: Teorema di Mestre Esempi. Il calcolo dell'ordine di un elemento. Introduzione. Algoritmo Baby Step - Giant Steps. BSGS per curve ellittiche (inizio)

    Mercoled� [09/04/14]: BSGS per curve ellittiche (fine). Dimostrazione della proposizione che afferma che tranne per un numero finito di q, l'esponente determina la struttura.

    Gioved� [10/04/09]: Inizio dimostrazione della formula per il numero dei punti di E: y² = x³ +kx. Il caso p =3(4). Caratteri quadratici e somme di Jacobi.

    Luned� [14/04/14]: Fine dimostrazione della formula per il numero dei punti di E: y² = x³ +kx. Algoritmo di Schoof (inizio).

    Mercoled� [16/04/14]: Fine Algoritmo di Schoof. Curve supersingolari: definizione e caratterizzazioni.

    Mercoled� [23/04/14]: Curve Supersingolari (inizio)

    Gioved� [24/04/14]: Curve Supersingolari (fine)

    Luned� [28/04/09]: Fattorizzazione con curve ellettiche alla Lenstra. Certificazione di Primalit� di Goldwasser Kilian

Testi specifici