1 (20/9/11). Richiami sui numeri complessi. Rappresentazione
dei nuneri complessi in forma trigonometrica. Funzioni di variabile complessa.
Derivabilità in senso complesso.
Funzioni olomorfe. Funzioni intere.
2 (20/9/11). Proprietà della derivata in senso complesso.
Il coniugio non è una funzione olomorfa. Equazioni di Cauchy-Riemann.
L'anello delle serie di potenze formali.
3 (23/9/11).
Serie di numeri complessi. Convergenza e convergenza assoluta. Criteri di convergenza.
4 (23/9/11).
Successioni e serie di funzioni limitate a valori complessi. Norma del sup.
Convergenza uniforme e assoluta. Criterio del confronto per serie di funzioni.
5 (27/9/11). Continuità del limite uniforme di una successione di funzioni continue.
Raggio di convergenza di una serie. Sua caratterizzazione come limsup (criterio della radice). Esempi di comportamento sulla frontiera del disco di convergenza.
6 (27/9/11). Convergenza della somma e del prodotto di serie convergenti. L'anello delle serie convergenti.
7 (30/9/11). Convergenza di serie ottenute per sostituzione di una serie convergente in un'altra. Convergenza dell'inversa e della derivata termine a termine di una serie convergente.
8 (30/9/11). Funzioni analitiche. Loro continuità. Analiticità di somma, prodotto, quoziente, composizione di funzioni analitiche. Analiticità nel disco di convergenza della funzione somma di una serie convergente.
9 (4/10/11). Le funzioni analitiche sono olomorfe. Esistenza di derivate analitiche di ogni ordine. Primitive. Esistenza locale di primitive di funzioni analitiche.
10 (4/10/11). Esempio di estendibilità dell'analiticità oltre il disco di convergenza di una serie. La funzione esponenziale e le sue principali proprietà. Le funzioni trigonometriche.
11 (7/10/11). Periodi della funzioni esponenziale. Il logaritmo complesso. Radici n-esime.
12 (7/10/11). Ordine e indice di ramificazione. Principio del prolungamento analitico.
13 (11/10/11). Principio di identità delle funzioni analitiche. La serie binomiale.
14 (11/10/11). Esistenza e unicità dell'inversa formale e sua convergenza.
15 (14/10/11). Il teorema della funzione inversa. Calcolo di determinazioni locali del logaritmo.
16 (14/10/11). Il teorema dell'applicazione aperta. Una funzione analitica biunivoca è un isomorfismo analitico.
17 (18/10/11). Il principio del massimo modulo. Il teorema fondamentale dell'algebra. Il lemma di Schwarz.
18 (18/10/11). Curve, curve continue, archi, riparametrizzazioni. Segmenti, poligonali. Integrale definito e indefinito di una curva continua. Integrazione di una funzione a valori complessi lungo una curva. Esempi.
19 (21/10/11). Proprietà generali dell'integrazione complessa. Caratterizzazione delle funzioni dotate di primitiva mediante proprietà dei loro integrali.
20 (21/10/11). Il teorema di Goursat.
21 (25/10/11). Esistenza di primitive delle funzioni olomorfe in un disco. Un lemma sulle curve continue. Omotopia e curve omotope. Aperti semplicemente connessi.
22 (25/10/11). Curve vicine. Integrazione di una funzione olomorfa su curve vicine dà lo stesso risultato. Estensione al caso di una successione finita di curve vicine.
23 (28/10/11). Il teorema di Cauchy.
24 (28/10/11). La formula integrale di Cauchy. Sviluppabilità in serie di una funzione olomorfa. Formula integrale per i coefficienti della serie.
25 (8/11/11). Il teorema di Morera. Il teorema di Liouville. Densità dell'immagine di una funzione intera. Il teorema fondamentale dell'algebra.
26 (8/11/11). Serie di Laurent e loro convergenza. Funzioni olomorfe in una corona circolare. Loro espressione come differenza di integrali sulle componenti del bordo della corona.
27 (11/11/11). La serie di Laurent di una funzione olomorfa in una corona circolare. Esempi. Singolarità eliminabili, polari, essenziali.
28 (11/11/11). Parte principale e residuo. Caratterizzazione delle singolarità eliminabili e dei poli.
29 (15/11/11). Funzioni meromorfe e loro proprietà rispetto ad operazioni razionali. Teorema di Casorati-Weierstrass. Esempi.
30 (15/11/11). Residui e integrazione su una circonferenza. Indice di un arco chiuso. L'indice è un numero intero.
31 (18/11/11). Punti interni e esterni a un arco e relativo indice. Il teorema dei residui.
32 (18/11/11). Calcolo esplicito di residui. Esempi.
33 (22/11/11). Derivata logaritmica e sue proprietà. Residuo all'infinito e suo calcolo come un residuo in zero.
34 (22/11/11). Il teorema dell'indicatore logaritmico. Esempi. Il teorema fondamentale dell'algebra.
35 (25/11/11). Il teorema di Rouchè. Esempi e applicazioni.
36 (25/11/11). Calcolo di integrali trigonometrici con il metodo dei residui.
37 (29/11/11). Calcolo di integrali impropri di funzioni razionali con il metodo dei residui.
38 (29/11/11). Il limite uniforme sui compatti di una successione di funzioni olomorfe è olomorfa. Non si annulla se nessuna delle funzioni della successione si annulla. La sua derivata è limite uniforme della successione delle derivate. Estensione alle serie.
39 (2/12/11). Serie di funzioni meromorfe e loro convergenza uniforme e normale sui compatti. Proprietà.
40 (2/12/11). Discussione di un esempio notevole. Applicazione al calcolo della somma della serie dei reciproci dei quadrati dei numeri interi (identità di Eulero).
41 (6/12/11). Esempi ed esercizi sul teorema dei residui.
42 (6/12/11). Discussione di alcuni esempi di singolarità isolate.
43 (9/12/11). Calcolo di sviluppi in serie di Laurent di alcune funzioni.
44 (9/12/11). Comportamento di funzioni all'infinito e residui all'infinito.
45 (13/12/11). I numeri binomiali come integrali. Calcolo di sviluppi in serie di Laurent.
46 (13/12/11). Calcolo di integrali trigonometrici.
47 (16/12/11). Calcolo di un integrale improprio.
48 (16/12/11). Esempi di funzioni con singolarità non isolate. Calcolo di uno sviluppo in serie di Laurent.