Programma:
Il gruppo PGL(2) delle proiettività della retta proiettiva su una campo K. Forme binarie e loro trasformazione per mezzo di proiettività (o trasformazioni lineari fratte). Nozione di invariante e di covariante. Grado, ordine e peso. Esempi: discriminante e hessiano.
Il birapporto di 4 punti e sue proprietà. Quaterne armoniche e equianarmoniche. L'invariante J di un polinomi di quarto grado. Espressione del discriminante per mezzo di J.
Dualità negli spazi proiettivi. Fondamenti della teoria elementare delle curve piane. In particolare proprietà locali, flessi, punti singolari, curva hessiana e sua relazione con i flessi, polarità. Sistemi lineari di curve piane. Cubiche piane.
Quadriche e loro classificazione proiettiva tramite il rango. Vertice e rango. Spazi lineari contenuti in una quadrica. Coordinate pluckeriane di una retta nel 3-spazio proiettivo. La quadrica di Klein nel 5-spazio proiettivo. Cenni sulle coordinate pluckeriane di un sottospazio lineare di un n-spazio, e sulle grassmanniane. Nozione di varietà algebrica proiettiva. Irriducibilità. Dimensione delle varietà algebriche.
Curve razionali e normali e loro generazione proiettiva.
Scoppiamento del piano affine in un punto. Trasformata totale e trasformata propria di una curva piana. Discussione di esempi. Scoppiamento del piano proiettivo.
Sistemi lineari e applicazioni razionali. Reti di curve piane, la curva jacobiana di una rete. La curva di diramazione. L'involuzione di Geiser definita da una rete di cubiche. La quartica di diramazione.
Il prodotto di varietà affini (proiettive) è una varietà affine (proiettiva). Varietà di Segre e loro equazioni. Lo scoppiamento del piano proiettivo come chiusura del grafico di una proiezione.
Dimensione di una varietà affine o proiettiva. Grado (o ordine) di una varietà proiettiva. Principali proprietà.
Rappresentazione di una superficie quadrica mediante il sistema lineare delle coniche con due punti base. Rappresentazione di una superficie cubica per mezzo del sistema lineare delle cubiche piane per 6 punti in posizione generale. Le 27 rette.

Bibliografia:
1. I. Dolgachev: Topics in Classical Algebraic Geometry , disponibile gratuitamente qui
2. I. Dolgachev: Lectures on Invariant Theory , LMS Lecture Notes Series 296, Cambridge Univ. Press, 2003.
3. F. Enriques, O. Chisini: Teoria geometrica delle equazioni e delle funzioni algebriche, vol. I, Zanichelli, Bologna, 1929. libro primo - libro secondo .
4. P. Olver: Classical Invariant Theory, London Math. Society 1999.
5. E. Sernesi: Geometria 1, , Bollati Boringhieri.
6. J. Harris: Algebraic Geometry: a first course, Springer Graduate Texts in Mathematics.
7. M. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati and G. Monti Bragadin: Lezioni di Geometria Analitica e Proiettiva, Bollati-Boringhieri, Torino (2002).
8. M. Beltrametti, E. Carletti, D. Gallarati and G. Monti Bragadin: Letture su Curve, Superficie e Varietà Proiettive Speciali. Un'Introduzione alla Geometria Algebrica, Bollati-Boringhieri, Torino (2002).
9. W. Fulton: Algebraic Curves. Disponibile gratuitamente qui
10. J.G. Semple, L. Roth: Introduction to Algebraic Geometry. djvu
11. B. Segre: Prodromi di geometria algebrica. ed. Cremonese, Roma.

Altri indirizzi utili:
Birapporto

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 27 SETTEMBRE: Il gruppo PGL(2) delle proiettivita' della retta proiettiva su una campo K. Forme binarie e loro trasformazione per mezzo di proiettivita' (o trasformazioni lineari fratte). Nozione di invariante e di covariante. Grado, ordine e peso. Esempi: discriminante e hessiano. ([3],cap. 1, n.1-2, p.5-18. Vedere anche [4], cap. 2).
Il birapporto di 4 punti e sue proprieta'. Quaterne armoniche e equianarmoniche. L'invariante J di un polinomi di quarto grado. Espressione del discriminante per mezzo di J. (Per questa parte e per nozioni generali sulle proiettivita' utilizzare [5], n. 27, e confrontare con [3], cap. 1 n. 4, p. 22-31. )

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 4 OTTOBRE: Dualità negli spazi proiettivi (n. 26 di [5]). Fondamenti della teoria elementare delle curve piane. In particolare proprietà locali, flessi, punti singolari, curva hessiana e sua relazione con i flessi, polarità (n. 33 e 34 di [5]). Sistemi lineari di curve piane (n. 35 di [5]). Cubiche piane (n. 36 di [5]).
Utilizzare anche [3], libro primo cap. II, e libro secondo, cap. II.

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 25 OTTOBRE: Quadriche e loro classificazione proiettiva tramite il rango. Vertice e rango. Spazi lineari contenuti in una quadrica. Coordinate pluckeriane di una retta nel 3-spazio proiettivo. La quadrica di Klein nel 5-spazio proiettivo. Cenni sulle coordinate pluckeriane di un sottospazio lineare di un n-spazio, e sulle grassmanniane. Nozione di varieta' algebrica proiettiva. Irriducibilita'. Dimensione delle varieta' algebriche.
Utilizzare [6] e questo paragrafo di [11].

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 8 NOVEMBRE: Curve razionali e normali e loro generazione proiettiva. Scoppiamento del piano proiettivo.
Utilizzare [6] e [8]. Vedere anche qui . Una traccia si trova qui .

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 15 NOVEMBRE: Sistemi lineari e applicazioni razionali. Reti di curve piane, la curva jacobiana di una rete. La curva di diramazione. L'involuzione di Geiser definita da una rete di cubiche. La quartica di diramazione.
Utilizzare [ [8], cap. 2 . Si veda anche 6]. Una traccia si trova qui .

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 22 NOVEMBRE: Il prodotto di varietà affini (proiettive) è una varietà affine (proiettiva). Varietà di Segre e loro equazioni. Dimensione di una varietà affine o proiettiva. Grado (o ordine) di una varietà proiettiva. Principali proprieta'.
Vedere [8], cap. 3 e cap. 10. [9], n. 6.4, in particolare Prop. 6.

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 29 NOVEMBRE: Scoppiamento del piano affine in un punto. Trasformata totale e trasformata propria di una curva piana. Discussione di esempi.
Utilizzare [9], cap. 7 n. 2. Vedere anche [8], p. 249.

ARGOMENTI ASSEGNATI LUNEDI' 6 DICEMBRE: Rappresentazione di una superficie quadrica mediante il sistema lineare delle coniche con due punti base. Rappresentazione di una superficie cubica per mezzo del sistema lineare delle cubiche piane per 6 punti in posizione generale. Le 27 rette.
Per la quadrica vedere qui . Per la cubica si veda [8], pag. 158-159 per le 27 rette, p. 312-313 per il sistema lineare. Rileggere per intero il cap. 6 di [8], il cui contenuto è stato svolto quasi interamente.