Ultimo aggiornamento Gennaio 2012 |
AL410 - Algebra commutativa
A.A. 2011/2012 - I Semestre |
Docente: Marco
Fontana
DM, Stanza 204 tel. 06 5733 8232
e-mail: fontana(at)mat.uniroma3.it |
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Scheda del corso
Moduli. Ideali.
Anelli e moduli di frazioni. Anelli locali. Anelli e moduli
noetheriani. Teorema della base (BasisSatz) di Hilbert. Dipendenza
integrale. Anelli di valutazione. Teorema di Krull (chiusura integrale
e valutazioni). Teorema degli zeri (NullstellenSatz) di Hilbert. Domini
di Dedekind. Anelli e moduli artiniani. Spettro primo di un anello e
topologia di Zariski.
Ulteriori
argomenti potranno essere svolti in accordo con gli studenti
frequentanti.
Il corso è rivolto agli studenti della
laurea triennale e magistrale ed è particolarmente indicato per
coloro che intendano approfondire tematiche di algebra, geometria
algebrica e teoria dei numeri.
Crediti: 7
I
Semestre
Prerequisiti: AL210 (ex-AL2)
Insegnamento valido per la PFA (Prova Fine di
tipo A)
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Bibliografia
essenziale
- M.F. Atiyah - I.G. Macdonald, Introduction to
commutative algebra, Addison-Wesley, 1969. Edizione in italiano con
note di P.Maroscia, Feltrinelli, 1981.
- H. Li, An introduction to commutative algebra (from
the viewpoint of normalization), Word Scientific Publishing Company,
2004.
Ulteriori
riferimenti bibliografici
- Nicolas Bourbaki, Algèbre Commutative, Chapitres 1-9, Hermann, Paris, 1961 ....
- Arthur Chatters, C. R. Hajarnavis, Charudatta Hajarnavis, An Introductory Course in Commutative Algebra, Oxford Univ Press, 1998.
- David A. Cox, John B. Little, Donal O'Shea, Ideals, Varieties, And Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry And Commutative Algebra,
Springer Verlag, 2007.
- D. Eisenbud, Commutative
Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer, 1995.
- R. Gilmer, Multiplicative Ideal theory, Dekker, New York, 1972.
- I. Kaplansky, Commutative
rings (revised edition), The University of Chicago Press, Chicago, 1974.
- Manfred Knebusch, Digen Zhang, Manis Valuations and Prufer Extensions I: A New Chapter in Commutative Algebra, Springer 2002.
- E. Kunz, Introduction to Commutative Algebra and Algebraic Geometry, Bikhauser, Berlin, 1985.
- H. Matsumura, Commutative Algebra,W. A. Benjamin, 1970.
- H. Matsumura, Commutative
Ring Theory, Cambridge University Press, 1989.
- M. Reid, Undergraduate
commutative algebra, LMS Student Texts, Cambridge 1995.
- R.Y. Sharp, Steps in
commutative algebra, London Mathematical Society Student Texts,
Cambridge University Press, Cambridge, 1990.
- I. Swanson, C. Huneke: Integral closure of ideals, rings, and modules. Cambridge Univ. Press, 2006.
- John J. Watkins, Topics in Commutative Ring Theory, Princeton University Press, 2007.
- O. Zariski and P. Samuel,
Commutative Algebra, Van Nostrand, 1958-1960 (reprinted, Springer
1975-1977)
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Avvisi - Bacheca
elettronica del corso |
- Nella riunione organizzativa del 20 settembre è stato deciso di modificare l'orario delle lezioni. Nuovo orario
MA ore 13:30-15, GI (invariato) ore 14-16.
Avvisi precedenti
- Inizio delle lezioni e riunione organizzativa: martedì 20
Settembre 2010, ore 14:15.
- A seguito della riunione organizzativa del 20 Settembre è stato deciso che la prima lezione avrà luogo
Martedi 27 Settembre ore 13:30 (ATTENZIONE: orario anticipato) Aula 009
(pertanto Giovedi 22 Settembre non ci sarà lezione)
- IMPORTANTE: Pre-iscrizione telematica al corso obbligatoria è in scadenza sul web studenti
web studenti
- Iscrizione telematica al corso (conferma della pre-iscrizione telematica) obbligatoria sul web studenti (entro il 5 Ottobre).
web studenti
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Diario delle lezioni |
I Settimana.
Introduzione al corso. Richiami sulla teoria degli anelli ed omomorfismi nel caso di anelli commutativi unitari.
Ideali, ideali primi e massimali. Ideali finitamente generati, ideali principali. Divisori dello zero, idempotenti, nilpotenti, elementi inversibili. Anelli locali: esempi e criteri. |
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II Settimana.
Parti moltiplicative e parti moltiplicative saturate. Ideali massimali nell'insieme degli ideali disgiunti da una parte moltiplicativa. Caratterizzazione delle parti moltiplicative saturate.
Localizzazioni. Esempi. Divisori dello zero e parti moltiplicative. Ideali ed ideali primi in un anello di frazioni. Esempi.
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III Settimana.
Un dominio e' un UFD se e soltanto se ogni ideale primo contiene un elemento primo.
Nilradicale e radicale primo (o radicale dell'ideale (0)). Anello ridotto ed ideali primi di un anello ridotto.
Radicale di Jacobson. Esempi e prime proprieta'. Operazioni tra ideali ed esempi.
Distributivita' delle operazioni tra ideali. Teorema Cinese dei Resti per anelli commutativi e caso classico nell'anello degli interi. |
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IV Settimana.
Moduli su un anello. Esempi e prime proprieta'. Hom_A(M, N) e dualita'. Moduli finitamente generati. Moduli liberi. Teorema fondamentale di omomorfismo tra moduli.
Teorema di Cayley-Hamilton per A-moduli finitamente generati. Lemma di Nakayama: varie formulazioni.
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V Settimana.
Topologia di Zariski nello spazio affine su un campo. La topologia di Zariski sullo spettro primo di un anello: chiusi, aperti e base di aperti quasi-compatti. Applicazioni spettrali: continuita', immersioni aperte e chiuse. Chiusura di un sottospazio dello spettro primo.
Punti chiusi e sottospazi irriducibili di Spec(A). Spec(A) e' uno spazio T_0 , ma non T_1. Quasi-compattezza. Composizione di applicazioni spettrali associate ad omomorfismi di anelli. Densita' dell'immagine nella applicazione spettrale associata ad un omomorfismo iniettivo.
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VI Settimana.
Prodotto tensoriale di moduli: proprieta' universale e sua costruzione. Prime proprieta' del prodotto tensoriale ed esempi. Alcuni esempi di prodotto tensoriale: caso del prodotto tensoriale su Z di Z/nZ con Z/mZ. |
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VII Settimana.
Dipendenza integrale. La chiusura integrale e' integralmente chiusa. Proprieta' delle estensioni intere: stabilita' per passaggio agli anelli-quoziente ed agli anelli di frazioni.
Estensioni intere ed ideali massimali. Teorema del "Lying Over" e Teorema del "Going-Up" di Cohen-Seidenberg.
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VIII Settimana.
Cenni al Teorema dell'Incomparabilità ed al Teorema del "Going-down".
Per ogni dominio D si ha D = ∩ D_M, M ideale massimale di D. Un dominio e' integralmente chiuso se e soltanto se lo e' localmente. Anelli di valutazione. Prime proprieta' ed esempi. Sopraanelli di anelli di valutazione. Anelli di valutazione ed anelli integralmente chiusi. Lemma u, u^{-1}.
Anelli di valutazione ed elementi massimali negli insiemi di domini locali. Teorema di Krull: un dominio integralmente chiuso e' intersezione dei suoi sopraanelli di valutazione.
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IX Settimana.
Introduzione al Teorema degli zeri di Hilbert.
Teorema degli zeri di Hilbert (forma "debole" e forma "forte" ): Esempi ed applicazioni. Cenni di dimostrazione. |
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X Settimana.
Valutazioni discrete ed anelli associati. Un anello di valutazione discreta e' associato ad una valutazione discreta. Domini di valutazione discreta e domini di Dedekind. |
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XI Settimana.
Esempi di domini di Dedekind. In un dominio di Dedekind ogni ideale proprio possiede una presentazione come prodotto di un numero finito di ideali potenze di ideali primi (=massimali). Esempi. Ogni PID e' un Dominio di Dedekind.
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XII Settimana.
Seminari di valutazione in itinere.
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Appunti
on-line di corsi di introduzione all’algebra commutativa ed
altri links utili |
I. Fesenko: Commutative algebra
This course is an introduction to modules over rings, Noetherian
modules, unique factorization domain and polynomial rings over them,
modules over principal ideal domains, localization [pdf
file 202K].
R.B.
Ash: A course in commutative algebra
Preface Table
of Contents
Chapter 0
Ring Theory Background (7 pp.)
Chapter 1
Primary Decomposition and Associated Primes (15 pp.)
Chapter 2
Integral Extensions (9 pp.)
Chapter 3
Valuation Rings (9 pp.)
Chapter 4
Completion (10 pp.)
Chapter 5
Dimension Theory (15 pp.)
Chapter 6
Depth (4 pp.)
Chapter 7
Homological Methods (8 pp.)
Chapter 8
Regular Local Rings (3 pp.)
Exercises
(7 pp.)
Solutions
(8 pp.)
List of
Symbols
Index
Sudhir R. Ghorpade: Commutative Algebra Lecture Notes
Contents
1 Rings and Modules 3
1.1 Ideals and Radicals 3
1.2 Polynomial rings and Localization of rings 8
1.3 Modules 11
1.4 Zariski Tolpology 12
Exercises 14
2 Noetherian Rings 17
2.1 Noetherian Rings and Modules 17
2.2 Primary Decomposition of Ideals 19
2.3 Artinian Rings and Modules 23
2.4 Krull's Principal Ideal Theorem 27
Exercises 14
3 Integral Extensions 32
3.1 Integral Extensions 32
3.2 Noether Normalization 35
3.3 Finiteness of Integral Closure 38
Exercises 42
4 Dedekind Domains 44
4.1 Dedekind Domains 45
4.2 Extensions of Primes 50
Exercises 42
A Appendix: Primary Decomposition of Modules 55
A.1 Associated Primes of Modules 55
A.2 Primary Decomposition of Modules 58
Exercises 62
References
C. Procesi: Algebra Commutativa
Appunti di Algebra commutativa (versione 23-5-2002)
Contenuto: Teoria della dimensione; Grado di Trascendenza; Polinomi di Hilbert; Dimensione di Krull; Anelli regolari e singolari; Molteplicitµa. Successioni regolari ad anelli di Cohen-Macaulay; Completamenti. Metodi omologici; Introduzione agli schemi; Topologa di Zariski; Fasci di anelli e moduli; Il linguaggio dei funtori; Discesa fedelmente piatta. Morfismi étale, piatti e lisci; Differenziali algebrici; Algebre étale; Anelli Henseliani; Introduzione alle topologie di Grothendieck; La topologia étale.
R. Strano: Appunti di Algebra Commutativa
D. R. Wilkins (Trinity
College, Dublin ): Topics in
Commutative Algebra .pdf
A. Chambert-Loir (Université
de Rennes ): Algèbre
commutative, Cours de master de mathématiques .pdf
M. Barile (Università di Bari): Appunti di Algebra Commutativa
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Valutazione
in itinere - seminari - "esoneri" |
La
valutazione del profitto verrà effettuata di preferenza
durante il semestre. Gli studenti frequentanti saranno invitati ad
effettuare almeno un seminario di approfondimento su tematiche
collegate a quelle svolte a lezione.
Gli studenti
che hanno sostenuto con esito positivo, nel corso del semestre, le
prove di valutazione parziale (seminari e prove scritte) accedono
direttamente al colloquio di verbalizzazione del voto proposto dal
docente, da effettuarsi durante la I Sessione di esame (Appello A o B ).
Per
tutti gli studenti che non si avvalgono della possibilità della
valutazione del profitto durante il corso, l'esame finale consiste in
una prova scritta (comprendente anche domande di tipo teorico) o/e orale.
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Elenco di argomenti da assegnare
- 10 Novembre 2011 - Enrica Gonzalez: Sottomoduli e moduli-quoziente. Operazioni tra moduli. Successioni esatte
[ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp.18-20 e 22-24]
- 17 Novembre 2011 - Francesco Salustri: Ideali primi in anelli di polinomi
[ I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 25-27]
- 24 Novembre 2011 - Francesco Quinzam: Prodotti tensoriali (complementi). Esattezza (a destra) del prodotto tensoriale. Prodotto tensoriale di algebre
[ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 25-31]
- 1 Dicembre 2011 - Francesco Salustri: Il Teorema del "going-down" (GD). Approfondimento delle relazioni tra GU, INC e LO.
[ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 63-64 e I. Kaplansky "Commutative rings ", pp. 28-32]
- 6 Dicembre 2011 - Anne Vollweiler: Applicazioni del BasisSatz di Hilbert: Struttura degli insiemi algebrici, varietà algebriche, irriducibilità
[ D. R. Wilkins: "Topics in Commutative Algebra" (notes on-line), pp. 21-31]
- 13 Dicembre 2011 - Francesco Quinzam: Moduli di frazioni: prime proprietà
[ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 38-43]
- 15 Dicembre 2011 - Enrica Gonzalez: Condizioni sulle catene e moduli noetheriani
[ M.F. Atiyah-I.G. Macdonald "Introduction to commutative algebra", pp. 74-78]
N.B. Le indicazioni bibliografiche sono minimali, da integrare con altre fonti bibliografiche (sia tradizionali che on-line) indicate nella bibliografia del corso.
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Calendario
e Prove d'esame |
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