TN410 - Teoria dei Numeri I

1. Lezione [24/02/15] Divisibilità. Il pricipio del buon ordinamento (WOP) e da questo la deduzione dell'esistenza della divisione euclidea, dell'esistenza del massimo comun divisore e dell'algoritmo esteso di Euclide.
2. Lezione [26/02/15] Numeri primi, prime proprietà  elementari (Teorema Fondamentale dell'Aritmetica e infinità dei numeri primi). Parte intera di un numero reale e proprietà della funzione parte intera. La formula per la valutazione p-adica di n!.
3. Lezione [27/02/15] Storia della distribuzione dei Numeri primi, funzioni aritmetiche moltiplicative, funzione "numero dei divisori" e "somma dei divisori". Teorema di Euclide Eulero per la struttura dei numeri perfetti pari. Numeri primi di Mersenne.
4. Lezione [03/03/15] Proprietà analitiche elementari della funzione "numero dei divisori". Media della funzione numero di divisori. Il Teorema dell'iperbole di Dirichlet.
5. Lezione [05/03/15] Proprietà analitiche elementari della funzione "somma dei divisori". Media della funzione somma dei divisori. La funzione di Möbius e sue proprietà. Le due formule di inversione di Möbius e applicazioni.
6. Esercitazioni [06/03/15] La funzione di Eulero e le sue proprietà. Relazione tra la funzione di Eulero e la somma dei divisori. Primo foglio Esercizi. Risolti in classe: 1, 2, 3, 4 (Marco), 5(Patrizio).
7. Esercitazione [10/03/15] Risolti in classe: 6 (Veronica), 8 (Mohammed), 9 (Chiara), 10 (Riccardo). La media della funzione di Eulero, il drodotto di convoluzione (di Dirchlet) di funzioni aritmetiche, il gruppo delle funzioni aritmetiche e delle funzioni aritmetiche moltiplicative.
8. Lezione [12/03/15] Risolto in classe esercizio 7 (Lorenzo). Ultime proprietà del prodotto di convoluzione di funzioni aritmetiche. Generalità sulle congruenze, definizioni e prime proprietà. Sistemi completi di residui e sistemi completi ridotti di residui. Il Teorema di Eulero e l'ultimo Teorema di Fermat.
9. Lezione [13/03/15] Congruenze lineari e il Teorema cinese dei resti. Congruenze polinomiali. Il Teorema di Lagrange.
10. Lezione [17/03/15] Radici primitive. Dimostrazione del Teorema di Gauss sull'esistenza di radici primitive.
11. Lezione [19/03/15] Resigui quadratici, Simboli di Legendre e Simboli di Jacobi. Esempi e proprietà.
12. Lezione [20/03/15] Dimostrazione della Legge di reciprocità quadratica.
13. Esercitazioni [24/03/15] Secondo foglio Esercizi. Risolti in classe: 2, 3, 5, 10.
14. Esercitazioni [26/03/15] Dimostrazione delle ultime proprietà mancanti dei simboli di Jacobi. Risolti in classe: 4 (Sara), 7 (Valentina), 9 (Edoardo), 8 e 10.
15. Esercitazioni [27/03/15] Risolti in classe: (6) Augusto
16. Compito [01/04/15] Prima Prova in Itinere alle ore 14:00 in AULA F (Aula G)
17. Lezione [14/04/15] (Prof. Florida Girolami) Correzione prova in Itinere. Denizione di frazione continua nita semplice. Teorema: Ogni numero razionale si può scrivere come grazione continua semplice. Esempi. Denizione del k-esimo convergente di una frazione continua finita semplice C_k. Denizione di p_k e q_k. Teorema: C_k = p_k/q_k. Calcolo di p_k , q_k e C_k attraverso una tabella. Esempi.
18. Lezione [16/04/15] (Prof. Florida Girolami)
    Teorema: Se C_k = p_k/ q_k è il k-esimo convergente di una frazione continua semplice [a₀;a₁,...,a_n], allora p_kq_k - q_kp_k= (-1)^k.
    Corollario: p_k e q_k sono coprimi.
    Lemma: Sia [a₀;a₁,...,a_n]; allora q_k-1≤q_k per 1≤k≤n con disuguaglianza stretta per k > 1.
    Teorema: I convergenti con indice pari formano una successione strettamente crescente ed i convergenti con indice dispari una successione strettamente decrescente.
    Definizione di frazioni continua infinita semplice.
    Teorema: Il valore di una frazione continua infinita semplice è un numeraro irrazionale.
    Teorema: Se le frazioni continue infinite semplici [a₀;a₁,...] e [b₀;b₁,...] sono uguali, allora a_n = b_n per ogni n > 0
    Algoritmo per rappresentare un qualunque numero irrazionale come frazione continua infinita semplice. Esempi.

    Lezione [17/04/15] (Prof. Florida Girolami) Risolubilità dell'equazione diofantea aX + bY = c tramite le funzioni continue nite semplici. Esempi.

    Teorema di approssimazione diofantea di Dirichlet: Sia α un numero irrazionale; allora esistono infiniti numeri razionali a/b tali che |a/b-α|≤1/b_2.

    Teorema: Siano α un numero irrazionale e p_j/q_j per j=0,1,... i convergenti della frazione continua infinita semplice di α; se a è un intero, b un intero positivo e k un intero positivo tali che |bα-a|<|q_kα- p_k|, allora b > q_k+1. (Senza dimostrazione)

    Teorema: Siano α un numero irrazionale e a un intero, b un intero positivo con MCD(a; b) = 1 tali che |α-a/b|<1/b², allora a/b è uno dei convergenti della frazione continua innita semplice di α.(Senza dimostrazione)

    Frazioni continue infinite semplici periodiche. Frazioni continue infinite semplici puramente periodiche. Esempi. Numeri irrazionali quadratici.

    Teorema: Un numero irrazionale rappresentato da una frazione continua semplice periodica è quadratico.

    Teorema: La frazione continua semplice di un irrazionale quadratico è periodico. (Senza dimostrazione)

    Se d è un intero positivo non quadrato perfetto, allora √d=[a₀;a₁;a₂; ... ; a₂;a₁;2a₀] . (Senza dimostrazione)

    Lezione [21/04/15] Interi come semme di quadrati. Il teorema di Fermat sui numeri primi che sono somma di due quadrati (Teorema 5.1). Discesa di Fermat. Classificazione degli interi che sono somma di due quadrati (Teorema 5.2).

    Lezione [23/04/15] (mezza lezione) Seconda dimostrazione del Teorema di Fermat. Numero di rappresentazioni di un numero come somma di quadrati. Inizio della dimostrazione della formula per il numero di rappresentazionei (Teorema 5.3, 5,4)

    Lezione [24/04/15] della dimostrazione della formula per il numero di rappresentazioni (Teoremi 5.5, 5.6), Teorema di Landau: il numero di rappresentazioni in termini del carattere quadratico modulo 4 (Teorema 5.7).

    Lezione [28/04/15] Fine dimostrazione del Teorema di Landau. Numero medio di rappresentazioni. Teorema dei quattro quadrati di Lagrange

    Esercitazioni [30/04/15] Interi somma di tre quadrati. Terzo foglio Esercizi Inizio soluzione degli esercizi

    Esercitazioni [05/05/15] Soluzione di esercizi dal terzo foglio

    Lezione [12/05/15] Distribuzione dei primi - Teoria analitica elementare dei numeri I. Il Teorema di Chebicev.

    Lezione [14/05/15] Distribuzione dei primi - Teoria analitica elementare dei numeri II. I Teoremi di Mertens.

    Lezione [15/05/15] Somme di Gauss I: Dimostrazione alternativa della Legge di Reciprocità quadratica.

    Lezione [19/05/15] Somme di Gauss II: Ancora sulle somme di Gauss.

    Esercitazioni [21/05/15] Quarto foglio Esercizi

    Esercitazioni [22/05/15]

    Compito [29/05/15] Seconda Prova in Itinere alle ore 11:00 in AULA G (Aula da confermare)

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