Corso GE520 - GEOMETRIA SUPERIORE - a.a. 2014/2015

Corso di letture in ALGEBRA OMOLOGICA

Docente: E. Sernesi

ORARIO DELLE LEZIONI: Su appuntamento.

ORARIO DI RICEVIMENTO PRIMO SEMESTRE: Su appuntamento.

TESTI UTILIZZABILI:

[BB] G. Boffi, D. A. Buchsbaum: Threading homology through algebra, Oxford Science Publications (2006).
[BD] I. Bucur, A. Deleanu: Introduction to the theory of categories and functors, A. Wiley (1968).
[C] A. Caldararu: Derived categories: a skimming. In Contemporary Mathematics n. 388, p. 43-75. AMS (Providence, 2005).
[E] D. Eisenbud: Commutative Algebra, Springer GTM vol. 150 (1995).
[M] H. Matsumura: Commutative Algebra, Benjamin (1970).
[F] T. Fimmel: Derived categories and functors , note distribuite all'ICTP (1992).
[GM] S.I. Gelfand, Yu.I. Manin: Methods of homological algebra, Springer (1996).
[H] R. Hartshorne: Algebraic Geometry, Springer Verlag GTM vol. 52.
[mL] S. Mac Lane: Homology, Springer Grundlehren b. 114 (1967).
[M] B. Mitchell: Theory of Categories, Academic Press (1965).

PROGRAMMA DI MASSIMA DEL CORSO:
1) Categorie additive e categorie abeliane. Funtori additivi, esatti, semiesatti. Oggetti iniettivi e oggetti proiettivi. Successioni esatte, complessi, risoluzioni.
2) Funtori derivati, delta-funtori, oggetti aciclici per un funtore.
3) Ext e Tor. Gli Ext secondo Yoneda.
4) Applicazioni geometriche: coomologia dei fasci.
5) Applicazioni algebriche: profondità e dimensione omologica degli anelli locali, coomologia locale, complesso di Koszul.
6) Complessi doppi. Complesso totale associato a un complesso doppio. Successioni spettrali. Le successioni spettrali associate a un complesso doppio.
7) La categoria omotopica di una categoria abeliana. Localizzazione. La categoria derivata. Triangoli. Esattezza e funtori derivati rivisitati.

GUIDA ALLA BIBLIOGRAFIA:
Il testo [GM] tratta quasi tutti gli argomenti del corso. È un testo difficile in prima lettura, ma è molto approfondito.
Per i capitoli 1) e 2) una esposizione stringata senza dimostrazioni si trova in [H], n. III.1 (Derived Functors), pp. 202-206. Queste cinque pagine rappresentano un'ottime scaletta. I dettagli completi di dimostrazioni si trovano in [BD] e in [M]. Si consiglia di utilizzare [BD] e [M] per capire a fondo le cinque pagine di [H].
Il capitolo 3) tratta una argomento centrale in algebra commutativa e si trova in diversi testi. Qui si fa riferimento a [E]. Gli Ext secondo Yoneda (in prima lettura è sufficiente trattare gli Ext^1) sono spiegati molto chiaramente anche in [mL] e in [M].
5) e 6) sono in [E].
[C] rappresenta un'utile introduzione alle categorie derivate in geometria algebrica. Lo si usi per farsi un'idea. I dettagli si trovano in [GM]. Un altro utile articolo è [F].

TESINE:
1) complesso di Koszul e successioni regolari.
2) Profondità e funtori Ext.
3) La formula di Auslander-Buchsbaum.
Bibliografia:
La 1) corrisponde al n. II.1 di [BB]. La 2) copre il n. 15 di [M]. La 3) è il Teorema II.4.12 di [BB].