AVVISI
|
Crediti: 6
Docente: Francesca Tartarone, Dipartimento di
Matematica, Stanza n. 309, tel. 06 5733 8228, e-mail: [email protected]
Lezioni: Mercoledì 14-16 (Aula 211), Venerdì 11-13 (Aula C).
Orario di ricevimento:
Mercoledì: ore 11-13.
18/12 Seminari.
16/12 Seminario. Lezione: Teorema di Hall. Ogni gruppo risolubile ha una base di Sylow.
11/12 Sottogruppi normali minimali di un gruppo risolubile e relazioni con il sottogruppo di Fitting. Serie di Fitting di un gruppo risolubile.
9/12 Seminari.
4/12 Derivato di un gruppo. Serie derivata. Serie centrali di gruppi. Gruppi risolubili: definizione e primi esempi. Un p-gruppo finito è risolubile.
2/12 Come risalire da una presentazione finita di un gruppo abeliano alla sua struttura di somma diretta di gruppi ciclici. Gruppi proiettivi. Un gruppo libero è proiettivo. Gruppi iniettivi e divisibili (teorema di equivalenza).
27/11 Ancora sulla struttura dei gruppi abeliani finitamente generati.
25/11 Sottogruppo di Frattini di un gruppo G e sottogruppi massimali. Sottogruppo di torsione di un gruppo abeliano. Struttura dei gruppi abeliani finitamente generati.
20/11 Generatori e relazioni. Sistemi di generatori e gruppi finitamente generati.
18/11 Classificazione dei gruppi di ordine 12. Azioni: Formula di Burnside. Caratteri: definizione, prime proprietà ed esempi (colorazione di un quadrato).
13/11 Seminari.
11/11 Azioni: stabilizzatore, orbita, azioni transitive. Azione di un gruppo G sui laterali di un sottogruppo H. Applicazioni ai p-gruppi. A_5 è l'unico gruppo semplice di ordine 60 ed è anche l'unico gruppo di ordine 60 con 6 5-Sylow.
30/10 Relazioni fra i Sylow di un gruppo G e quelli di un suo sottogruppo. Esempi e applicazioni.
28/10 Terzo Teorema di Sylow. Esempi e applicazioni.
23/10 Teorema di Cayley. Primo e secondo Teorema di Sylow.
21/10 Gruppi di permutazioni: semplicità del gruppo alterno A_n per n \neq 4. Automorfismi di S_n.
16/10 Gruppi semplici. Serie normali e serie di composizione di un gruppo. Teorema di Jordan-Holder sull'unicità di una serie di composizione. Esempi.
14/10 Il coniugio in S_n. Descrizione delle classi di coniugio attraverso la struttura ciclica e calcolo della loro cardinalità. Normalizzanti, classi di coniugio e centralizzanti di un sottogruppo H di un qualsiasi gruppo G. Esempi. Centralizzante e normalizzante del sottogruppo generato da un n-ciclo in S_n.
9/10 La relazione di coniugio in un gruppo. Il gruppo degli automorfismi interni. Il centro di un gruppo G, il centralizzante di un elemento g in G. Relazione fra l'indice del centralizzante di g e la cardinalità della classe di coniugio di g. Il cento di un p-gruppo. Gruppi di cardinalità p^2. Invertire il Teorema di Lagrange per i p-gruppi. Il coniugio per le involuzioni.
2/10 Sottogruppi normali: prime proprietà ed esempi. Quoziente di un gruppo rispetto ad un suo sottogruppo normale: definizione di struttura di gruppo. Permutabilità degli elementi di un prodotto di sottogruppi HK. Ciclicità dei gruppi finiti che possiedono un solo sottogruppo per ogni divisore dell'ordine. Teoremi di isomorfismo.
30/09 Prime proprietà sui p-gruppi. Esempi. Numero massimo di generatori di un gruppo finito. Numero massimo di gruppi non isomorfi di cardinalità n fissata. Gruppo dei quaternioni. Gruppi di ordine 6. Automorfismi di gruppi: esempi.
25/09 Gruppi ciclici. Sottogruppi e classi laterali. Indice di un sottogruppo. Cardinalità dei sottogruppi (Teorema di Lagrange, Teorema di Cauchy).
23/09 Richiami sui gruppi: definizioni, esempi
Richiami sulle proprietà elementari dei gruppi. Prodotti diretti e semidiretti. Gruppi di permutazioni e semplicità dei gruppi alterni. Azioni di gruppi. Teoremi di Sylow. Gruppi abeliani finiti, gruppi nilpotenti e gruppi risolubili.
Esercitazioni
Seminari studenti
Testi
Nome e Cognome Data Titolo Pulvano G. 13-11-2010 Prodotto diretto Scattareggia G. 13-11-2010 Prodotto semidiretto Acclavio M. 9-12-2010 Gruppi nilpotenti Di Gloria E. 9-12-2010 Gruppi p-nilpotenti Menici L. 16-12-2010 Limiti inversi e diretti di gruppi N. Monastirli 18-12-2009 Gruppi di simmetrie Dell'Anna L. 18-12-2009 Coomologia di gruppi
L'esame consiste in un seminario che ciascun studente dovrà esporre in classe durante la seconda parte del corso ed il cui titolo gli verrà assegnato dal docente, e poi in una prova orale su tutto il programma del corso, da svolgersi preferibilmente durante la prima sessione di esame.