Dipartimento di Matematica

Introduzione al corso. Cenni storici. Bibliografia. Sito www del corso. Modalità di valutazione e prove di esonero.

Introduzione alla teoria delle congruenze. Sistemi completi di residui (mod n).  Cancellazione di fattori in una congruenza. Inverso aritmetico (mod n). Criteri di divisibilità. Equazioni diofantee e congruenze polinomiali. Criterio di non risolubilità di una equazione diofantea.

Inversi aritmetici (mod n).  Teorema fondamentale sulla risolubilità delle congruenze del tipo  aX ≡ b (mod n).  Esempi ed esercizi. Conguenze lineari ed equazioni diofantee lineari del tipo aX +bY = c.  Teorema fondamentale sulla risolubilità delle equazioni diofantee lineari.  Sistemi ridotti di residui e la funzione φ di Euler. La funzione φ di Euler è una funzione moltiplicativa.

Sistemi di congruenze lineari in due indeterminate (mod n): criterio di risolubilità (cioè, MCD(Δ, n) = 1, dove Δ è il determinante dei coefficienti delle indeterminate del sistema). Caratterizzazione della risolubilità di sistemi di congruenze lineari in due indeterminate (mod p), con p primo.

Il “piccolo” Teorema di Fermat. Inverso aritmetico di un intero che non è un multiplo di un primo.

La funzione μ di Möbius. Le funzioni moltiplicative formano un gruppo rispetto al prodotto di convoluzione. La formula di inversione di Möbius.

Il “piccolo” Teorema di Fermat non si inverte: numeri di Carmichael. Il Teorema di Wilson. Caratterizzazione dei numeri primi tramite il Teorema di Wilson.  Il Teorema Cinese dei Resti: Formula risolutiva. Esempi ed esercizi.

Esponenziazione modulare: tecniche di calcolo. Applicazioni esempi ed esercizi.

Risoluzione della congruenza X^2 ≡ -1 (mod p).

Formule concernenti la funzione φ. Per n > 2, φ(n) è pari.

Congruenze del tipo  X^{m} - a  ≡ 0 (mod  n). Ordine di un elemento (mod  n).

Metodo effettivo per il calcolo di radici primitive (mod  p): Algoritmo di Gauss.   Radici primitive ed indici. Prime proprietà degli indici. Teorema fondamentale sulla risolubilità di congruenze del tipo X^{m} - a  ≡ 0 (mod  p). Criterio di Euler. Esempi ed esercizi.

Congruenze del tipo X^{m} - a  ≡ 0 (mod  n), dove n possiede una radice primitiva. Criterio di Gauss di risolubilita'. Cenni sulla congettura di Gauss-Artin sulle radici primitive. Ulteriori esempi ed esercizi.

Risolubilità delle congruenze esponenziali del tipo a^{X} - b  ≡ 0 (mod  p).

Congruenze quadratiche e riduzione al caso X^{2} - a  ≡ 0 (mod  p). Residui quadratici. Simbolo di Legendre e sue prime proprietà. Simbolo di Legendre ed identità di Euler. Lemma di Gauss per il calcolo del simbolo di Legendre.

Congruenze del tipo X^{2} - a  ≡ 0 (mod  2^e). Numero delle soluzioni della congruenza X^{2} - a  ≡ 0 (mod  2^e).

Risolubilità delle congruenze del tipo X^{2} - a  ≡ 0 (mod  n) e numero delle soluzioni. Esempi ed esercizi.

Simbolo di Jacobi ed estensione della LQR.  Risolubilità di congruenze del tipo X^{2} - a  ≡ 0 (mod  n) e simbolo di Jacobi.

Interi esprimibili come somma di due quadrati.

Dimostrazione del Teorema di Lagrange: ogni intero (primo) è esprimibile come somma di quattro quadrati. Equazione di Pell-Fermat. Dimostrazione del Teorema di Lagrange sulle infinite soluzioni dell'equazione di Pell-Fermat.

Considerazioni conclusive.

Disquisitiones Arithmeticae da Wikipedia

The Disquisitiones Arithmeticae is a textbook of number theory written by German mathematician Carl Friedrich Gauss and first published in 1801 when Gauss was 24. In this book Gauss brings together results in number theory obtained by mathematicians such as Fermat, Euler, Lagrange and Legendre and adds important new results of his own.

Scope

The Disquisitiones covers both elementary number theory and parts of the area of mathematics that we now call algebraic number theory. However, Gauss did not explicitly recognise the concept of the group that is central to modern algebra, so he did not use this term. His own title for his subject is Higher Arithmetic. In his Preface to the Disquisitiones Gauss describes the scope of the book as follows:

The inquiries which this volume will investigate pertain to that part of Mathematics which concerns itself with integers.

Contents

The book is divided into seven sections, which are:

Section I. Congruent Number in General
Section II. Congruences of the First Degree
Section III. Residues of Powers
Section IV. Congruences of the Second Degree
Section V. Forms and Indeterminate Equations of the Second Degree
Section VI. Various Applications of the Preceding Discussions
Section VII. Equations Defining Sections of a Circle

Sections I to III are essentially a review of previous results, including Fermat's little theorem, Wilson's theorem and the existence of primitive roots. Although few of the results in these first sections are original, Gauss was the first mathematician to bring this material together and treat it in a systematic way. He was also the first mathematician to realise the importance of the property of unique factorisation (sometimes called the fundamental theorem of arithmetic), which he states and proves explicitly.

From Section IV onwards, much of the work is original. Section IV itself develops a proof of quadratic reciprocity; Section V, which takes up over half of the book, is a comprehensive analysis of binary quadratic forms; and Section VI includes two different primality tests. Finally, Section VII is an analysis of cyclotomic polynomials, which concludes by giving the criteria that determine which regular polygons are constructible i.e. can be constructed with a compass and unmarked straight edge alone.

Gauss started to write an eighth section on higher order congruences, but he did not complete this, and it was published separately after his death.

The Disquisitiones was one of the last mathematical works to be written in scholarly Latin (an English translation was not published until 1965: Carl Friedrich Gauss tr. Arthur A. Clarke: Disquisitiones Aritmeticae, Yale University Press, 1965 ISBN 0-300-09473-6).

Importance

Before the Disquisitiones was published, number theory consisted of a collection of isolated theorems and conjectures. Gauss brought the work of his predecessors together with his own original work into a systematic framework, filled in gaps, corrected unsound proofs, and extended the subject in numerous ways.

The logical structure of the Disquisitiones (theorem statement followed by proof, followed by corollaries) set a standard for later texts. While recognising the primary importance of logical proof, Gauss also illustrates many theorems with numerical examples.

The Disquisitiones was the starting point for the work of other nineteenth century European mathematicians including Kummer, Dirichlet and Dedekind. Many of the annotations given by Gauss are in effect announcements of further research of his own, some of which remained unpublished. They must have appeared particularly cryptic to his contemporaries; we can now read them as containing the germs of the theories of L-functions and complex multiplication, in particular.