AM110 Analisi matematica 1

AA 2010-2011 - I Semestre (L. Chierchia)

Esercitazioni: S. Mataloni

Indice
Avvisi
Scheda informativa
Programma del corso
AM110 aa 2009/2010
Orari
Diario delle lezioni
Diario delle esercitazioni
Bibliografia
Esoneri ed esami

Guida ai servizi Studenti con disabilità

AVVISI

• [31/1/2011] Gli studenti Martin, Novelli e Savarese sono convocati per il giorno mercoledì 2/2/11 alle ore 9:30 nello studio 210 del Dipartimento di Matematica per sostenere la prova orale.

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• [26/1/2011] Coloro che hanno superato gli esoneri possono sostenere l'orale o giovedì 27/1/2011 alle 10:00 in aula 009 oppure durante l'orale dell'appello A.
• A gennaio 2011 verranno tenute alcune esercitazioni secondo il seguente calendario:
  11 gennaio ore 11-13 (aula B3)
  12 gennaio ore 9-11 (aula G)
  18 gennaio ore 11-13 (aula 311).
  19 gennaio ore 11-13 (aula B3).
• Il primo esonero si terrà l'8/11/10 in aula B3 dalle 11 alle 13.
• Mercoledì 20/10/10 la lezione si terrà dalle 9-11 anziché dalle 11-13 (e la lezione di informatica dalle 11-13).
• [13/10/10] Venerdì 15/10 si terrà un test in classe di preparazione al primo esonero con correzione alla lavagna e autovalutazione.
• [12/10/10] I giorni 13 e 14 ottobre la didattica è sospesa per permettere la partecipazione ad un workshop sulla riforma dell'università che si terrà nell'aula 1 di viale Marconi 446.
• [29/9/10] Messaggio del Preside di Facoltà sulla sensibilizzazione alle problematiche degli studenti diversamente abili.
• [24/9/10] Il tutorato comincerà lunedì 27/9/2010 (14-16, aula B3).
• [22/9/10] Le esercitazioni cominceranno regolarmente oggi mercoledì 22/9/2010.

• Orario lezioni / esercitazioni / tutorato:
  - lezioni: lunedì e mercoledì 11:00 - 13:00 (Aula B3, complesso aule, Largo San L. Murialdo 1)
  - esercitazioni: mercoledì 15:00 - 16:00, venerdì 9:00-11:00 (Aula B3).
  - tutorato: lunedì 14:00-16:00 (Aula B3)

  Orario di ricevimento (L. Chierchia):

  Giovedì 15:00-17:00 - Studio 210, Dipartimento di Matematica

Diario delle lezioni
• Lezioni 1 e 2 [20/9/10] Introduzione al corso.
  Prodotto cartesiano e funzioni. Numeri reali: gli assiomi di somma e prodotto.

• Lezioni 3 e 4 [22/9/10] I quindici assiomi algebrici. Prime conseguenze ("cancellazioni", "semplificazioni", unicità dell'opposto e del reciproco; -(-a)=a; (a^-1)^-1=a per ogni a diverso da 0; a 0=0 per ogni a; (-1) a=-a).

• Lezioni 5 e 6 [27/9/10] a² ≥ 0, per ogni a. 1 > 0. Definizione ed esempi di insiemi induttivi. Definizione di N. Gli "assiomi" di Peano (come conseguenza degli assiomi algebrici di R e della definizione di N). Il "principio di induzione".
  Complemento 1 (gli insiemi N, Z e Q)

• Lezioni 7 e 8 [29/9/10] N è chiuso rispetto alla somma e alla moltiplicazione. Non ci sono naturali tra due naturali successivi. Se n > m (n,m naturali) allora n ≥ m+1. Ogni sottoinsieme non vuoto dei numeri naturali ammette minimo. Definizione di insieme limitato e di maggiorante.

• Lezioni 9 e 10 [4/10/10] Se n > m sono numeri naturali, allora n-m è un naturale. Il sedicesimo assioma dei numeri reali ("assioma dell'estremo superiore"). Estremo inferiore. Un sottoinsieme di N non vuoto e limitato superiormente ammette massimo. Proprietà archimedea. N non è limitato.
  Gli interi Z (proprietà fondamentali). Definizione dei razionali Q. I razionali soddisfano i 15 assiomi algebrici.

• Lezioni 11 e 12 [6/10/10] Densità dei razionali nei reali. Rappresentazione standard dei razionali. Non esiste alcun razionale r tale che r²=2. L'estremo superiore dell'insieme dei numeri razionali il cui quadrato è minore di 2 non è un numero razionale ("i razionali non soddisfano l'assioma dell'estremo superiore").

• Lezioni 13 e 14 [11/10/10] Somma geometrica (per induzione e prova diretta). Se n è un numero naturale e a e b reali, allora aⁿ-bⁿ=(a-b)(a^n-1+a b^n-2 +...+b^n-1). Se s,t > 0, n naturale, allora s < t (risp., s=t, s ≤ t) se e solo se sⁿ < tⁿ (risp., sⁿ = tⁿ, sⁿ ≤ tⁿ). Se 0 < s < t e n > 1 è intero allora: tⁿ-sⁿ < (t-s) n t^n-1.
  Esistenza e unicità della radice n-ma (con n naturale) di un numero positivo (dimostrazione da [R]).

• Lezioni 15 e 16 [18/10/10] Definizione di limite finito e infinito. Esempi: lim 1/n =0; lim n= +∞. Se lim a_n = +∞ o -∞ allora lim 1/a_n=0; se a_n > 0 (risp. < 0) e lim a_n=0, allora lim 1/a_n = +∞ (risp. -∞). Se c∈R e lim a_n=L allora lim c a_n= c L e lim a_n + c = L+c.
  lim aⁿ è 0 se |a|<1, 1 se a=1, + ∞ se a ≥ 1, non esiste se a ≤ -1. Serie geometrica: il limite di s_n:= 1+ a + a²+...+aⁿ è 1/(1-a) se |a|<1, ∞ se a ≥ 1, non esiste se a≤ -1.

• Lezioni 17 e 18 [22/10/10] Unicità del limite. Una successione convergente è limitata. Se lim a_n > M allora esiste N tale che a_n > M per ogni n ≥ N; Se lim a_n < M allora esiste N tale che a_n < M per ogni n ≥ N. Teorema della permanenza del segno. Se lim a_n = a, allora lim |a_n|=|a|. Teorema del confronto. Operazioni con successioni convergenti.
  lim n^1/n=1. Se lim a_n = + ∞ allora lim a_n^p=lim a_n^1/p=+ ∞, per ogni p∈N. Se a>0 allora lim a^1/n=1. Se p∈N e A>1 allora lim Aⁿ/n^p=+ ∞.

• Lezioni 19 e 20 [25/10/10] Successioni monotòne. Se { a_n } è monotona crescente [decrescente] allora lim a_n = sup { a_n: n ∈ N } [ lim a_n = inf { a_n: n ∈ N }]. La successione e_n=(1+1/n)ⁿ è strettamente crescente e si ha che e_n < 4; il lim e_n =: e = numero di Nepero.
  Definizione di aⁿ con a≠0 e n intero e proprietà. Per ogni a,b > 0 e n naturale, a^1/n b^1/n = (ab)^1/n.

• Lezioni 21 e 22 [27/10/10] Definizione e proprietà degli esponenziali con esponente razionale. Se a>1 e r ∈ Q, allora |a^r-1| ≤ a^|r|-1. Se a>1 e r_n∈ Q e lim r_n = 0 allora lim a^r_n=1. Se a>1, x ∈R, r_n∈Q e lim r_n = x, allora esiste il limite (finito e positivo) lim a^r_n; tale limite non dipende dalla particolare successione {r_n} e definisce il numero a^x. Definizione degli esponenziali con base minore di uno. Se a>0, x ∈R, x_n∈R e lim x_n = x, allora lim a_n^x=a^x. Proprietà fondamentali degli esponenziali.

• Lezioni 23 e 24 [10/11/10] Se 0 < a_n → a > 0, allora per ogni x, a_n^x → a^x (continuità delle potenze). Se x_n → +∞, allora (1 + 1/x_n)^x_n → e. Per ogni x, lim (1+x/n)ⁿ=e^x.
  Serie numeriche a termini positivi. Esempi (la serie geometrica, serie telescopiche, ∑ 1/(n (n+1))=1). Una serie a termini positivi o converge o diverge.

• Lezioni 25 e 26 [15/11/10] I termini di una serie convergente tendono a zero. Criteri per serie a termini positivi: confronto; confronto asintotico; della radice; del rapporto; di condensazione (Cauchy). Convergenza della funzione (serie) di Riemann.

• Lezioni 27 e 28 [17/11/10] Parte positiva e negativa di un numero. Convergenza assoluta: se una serie converge assolutamente allora converge. Criterio di Leibnitz. La serie esponeziale exp(x). exp(x)=e^x. Stime sule resto della serie esponenziale.
  Esercizi sulle serie.

• Lezioni 29 e 30 [22/11/10] Logaritmi: definizione, esistenza e unicità; proprietà; continuità; stime su log (1+t). Due limiti notevoli: se 0 ≠ a_n → 0 allora (exp(a_n) - 1)/a_n → 1; log (1 + a_n)/a_n → 1.
  Esercizi sulle serie.
  Complemento 2 (Continuità delle potenze e degli esponenziali)
  Complemento 3 (Funzione esponenziale, logaritmo e funzioni iperboliche)

• Lezioni 31 e 32 [24/11/10] Se a_n → +∞ e p>0 allora log a_n → +∞; (e^a_n) / a_n^p → +∞; (log a_n) / a_n^p → 0.
  Funzioni iperboliche. Definizioni e parità. Formule di addizione. Comportamento a +∞. Rappresentazione per serie. Limiti notevoli: se a_n →0 allora (senh a_n)/ a_n → 1; (cosh a_n -1) / a_n² → 1/2; (tanh a_n)/ a_n → 1.

• Lezioni 33 e 34 [29/11/10] Definizione di seno e coseno. Parità. -0,417 < cos 2 < -0,415. Comportamento e stime vicino a 0. Limiti notevoli. Formula di addizione per il coseno (assumendo un risultato sulle serie iterate).

• Lezioni 35 e 36 [1/12/10] Serie iterate e serie doppie. Condizioni sufficienti per lo scambio dell'ordine per serie a termini positivi e serie a termini arbitrari.
  cos² x+ sen² = 1. Teorema di permanenza del segno per il coseno.
  Complemento 4 (Serie doppie) [versione del 9/12/10]
  Complemento 5 (Coseno, seno e pi greco)

• Lezioni 37 e 38 [6/12/10] Esistenza del primo zero positivo del coseno. Definizione di π. Valori di seno e coseno su multipli di π/2. Formula di addizione per il seno. Altre identità trigonometriche. Continuità del seno e del coseno.
  Definizione di sottosuccessione. Definizione di limite superiore e limite inferiore.
  Complemento 6 (Sottosuccessioni. Massimo e minimo limite)

• Lezioni 39 e 40 [10/12/10] Ogni sottosuccessione di una successione convergente ammette lo stesso limite. Relazioni tra limite superiore/inferiore e sottosuccessioni. Una successione ha limite se e solo se il limite superiore coincide con il limite inferiore. Per successioni limitate, il limite superiore (inferiore) coincide con l'estremo inferiore (superiore) dei maggioranti (minoranti) definitivi.
  Successioni limitate. Una successione di Cauchy è limitata. Teorema di Bolzano-Weierstrass: da ogni successione limitata è possibile estrarre una sottosuccessione convergente ad un numero reale (dimostrazione con limsup e dimostrazione classica per bisezione). Teorema di Cauchy: una successione è di Cauchy se e solo se è convergente (ad un numero reale).

• Lezioni 41 e 42 [13/12/10] Topologia e successioni. Intervalli aperti. L'intersezione di due intervalli aperti è un intervallo aperto. Punti interni, insiemi aperti e chiusi. La famiglia degli insiemi aperti forma una topologia su R (topologia standard) ossia contiene l'insieme vuoto e R ed è chiusa rispetto ad unioni arbitrarie ed a intersezioni finite.
  Un insieme E non è aperto se e solo se esiste un suo punto che è il limite di una successione esterna ad A. Un insieme C è chiuso se e solo se comunque presa una successione in C convergente, il limite di tale successione appartiene a C. Definizione di insieme compatto per successioni. I compatti di R sono gli insiemi chiusi e limitati.
  Definizione di derivato, chiusura, interno e frontiera di un insieme. La chiusura di un insieme E coincide con l'insieme dei punti che si ottengono come limiti di successioni in E. La chiusura di un insieme E coincide con l'unione di E e il suo derivato. La frontiera di E coincide con l'intersezione della chiusura di E e la chiusura del complementare di E.
  Complemento 7 (Topologia e successioni)

• Lezioni 43 e 44 [15/12/10] Limiti di funzioni; teorema "ponte" (caratterizzazione per successioni). Teorema della permanenza del segno. Limiti di somme e prodotti di funzioni; limiti di funzioni composte. Funzioni continue; caratterizzazione in termini di limiti e successioni. La somma, il prodotto, il rapporto e la composizione (ove definiti) di funzioni continue sono continui. Teorema di permanenza del segno per funzioni continue. Teorema di Weierstrass (una funzione continua su un compatto ammette massimo e minimo). Teorema degli zeri di funzioni continue (dimostrazione per bisezione). Teorema dei valori intermedi per funzioni continue su intervalli.

• Lezioni 45 e 46 [17/12/10] Funzioni continue e topologia. Una funzione R in R è continua se e solo se la preimmagine di un aperto è aperta; estensione al caso di dominio arbitrario. Le funzioni continue mandano compatti in compatti e intervalli in intervalli. Esempi e controesempi.
  Una funzione iniettiva e continua su un compatto ha inversa continua. Una funzione continua su un intervallo è iniettiva se e solo se è strettamente monotona. Una funzione iniettiva e continua su un intervallo ha inversa continua.
  Complemento 8 (Funzioni continue e topologia)

• Lezioni 47 e 48 [20/12/10] Limiti laterali (limiti da sinistra/destra). Limiti di funzioni monotone. Classificazione delle discontinuità.
  Estensioni e restrizioni. Funzioni uniformemente continue. Se f è uniformemente continua su A e y è un punto d'accumulazione per A, esiste finito il limite di f(x) per x che tende a y. Estensione di funzioni uniformemente continue. Teorema di Weierstrass: una funzione continua su un compatto è ivi uniformemente continua. Una funzione uniformemente continua su di un insieme limitato è ivi limitata.

• Lezioni 49 e 50 [22/12/10] Definizione di insieme numerabile. L'unione numerabile di insiemi finiti è numerabile. Il prodotto cartesiano di insiemi numerabili è numerabile. L'unione numerabile di insiemi numerabili è numerabile. Q è numerabile. R non è numerabile (senza dimostrazione). R ha la cardinalità di 2^N=: l'insieme delle successioni a valori in {0,1} (senza dimostrazione).
  Una funzione monotona ha al più un'infinità numerabile di discontinuità.
  Complemento 9 (Numerabilità e R)

Diario delle esercitazioni (le parti in corsivo sono di teoria)
• Esercitazione 1 [22/9/10] [G3]: es 1.1; Teorema 1.1 (con dimostrazione); definizioni 1.1, 1.2.

• Esercitazioni 2 e 3 [24/9/10] Operazioni con gli insiemi. [G3]: es 1.3 e 1.4. I quantificatori logici. [G3]: es 1.14, 1.15, 1.16.
  Proprietà dei numeri reali: unicità dell'inverso, cancellazioni in prodotti, l'inverso di ab, etc.

• Esercitazione 4 [29/9/10] Principio d'induzione: es 1.17 punti 1,2,3,4 [G3].

• Esercitazione 5 [6/10/10] Disuguaglianza di Bernoulli. Potenza del binomio (formula di Newton) Il valore assoluto .
  Esercizi vari sul valore assoluto.

• Esercitazioni 6 e 7 [8/10/10] [G3]: es 1.17 punti 5 e 6; es 1.19 (principio d'induzione). [G3]: es 2.27 punto 8; es 2.28 (valore assoluto). [G3]: es 2.22 (sup e inf).

• Esercitazioni 8 e 9 [15/10/10] Test in classe con correzione alla lavagna e autovalutazione.

• Esercitazioni 10, 11 e 12 [20/10/10] [G3]: es 2.19, 2.20, 2.21. [G1]: es 46, 47, 48. Esercizi con l'uso della definizione di limite (tipo [G1] 1, 10, 12).

• Esercitazione 13 [27/10/10] Esercizi sui limiti di successioni.

• Esercitazioni 14 e 15 [29/10/10] Discussione di esercizi proposti dagli studenti su: induzione, sup/inf, limiti di successioni. Verifica per induzione che n! > (n/e)ⁿ.

• Esercitazione 16 [10/11/10] Correzione alla lavagna del primo esonero.

• Esercitazioni 17 e 18 [12/11/10] Limiti di successioni [G3]: 6.4 (15, 17); es 4.4 (a, g). Esercizi proposti dagli studenti.
  Serie: divergenza della serie armonica. Esercizi su serie geometrica tipo [G3] ex 6.12 1. Serie di Mengoli.

• Esercitazione 19 [17/11/10] Esercizi su serie a termini positivi: [G3] es 6.16 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11).

• Esercitazioni 20 e 21 [19/11/10] Criterio di condensazioni e serie contenenti il logaritmo. [G3] es 6.16, 14, 18, 19, 22; es 6.18, 1.

• Esercitazione 22 [24/11/10] [G3]: es 6.18, 3, 4, 5.

• Esercitazioni 23 e 24 [26/11/10] [G3]: Esempio 6.24; es 6.17 (tutto); es 6.18 numeri 8, 9, 10, 11.

• Esercitazione 25 [1/12/10] Esercizio 1 dell' Esonero del 15/1/2010.

• Esercitazioni 26 e 27 [3/12/10] [GE]: cap 4 es 10, 29, 55, 56, 58.

• Esercitazione 28 [15/12/10] Esercizi su limsup/liminf e su limiti di funzioni.

• Esercitazioni 29 e 30 [11/1/11] [GE] 91, 92, 94, 96, 102, 104, 119, 131, 132, 133, 140, 144.
  [G3] ex 7.3 punti 6, 7.

• Esercitazioni 31 e 32 [12/1/11] [GE] 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100.
  [G3] ex 3.13, 3.14, 3.15.

• Esercitazioni 33 e 34 [18/1/11] Esercizi di ricapitolazione.

• Esercitazioni 35 e 36 [19/1/11] Esercizi di ricapitolazione.

Esoneri ed esami

I Esonero: 8/11/10; 11:00-13:00, aula B3.
Testo

II Esonero: 21/1/11; 10:00-12:00, aula B3.
Testo

Appello A: 28/1/11; 10:00-12:00, aula G.
Testo

Appello B: 21/2/11; 10:00-12:00, aula G.
Testo

Appello C: 22/6/11; 10:00-12:00, aula G.
Testo

Bibliografia
[G2] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Seconda Edizione Bollati Boringhieri, 1991 (edizione fuori commercio)
[GE] Giusti, E.: Esercizi e complementi di Analisi Matematica, Volume Primo, Bollati Boringhieri, 2000
[D] Demidovich, B.P., Esercizi e problemi di Analisi Matematica, Editori Riuniti, 1993 (edizione fuori commercio)

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[G3] Giusti, E.: Analisi Matematica 1, Terza Edizione Bollati Boringhieri, 2002
[R] Rudin, W.: Principi di analisi matematica, Milano 1991 (edizione fuori commercio)

Per osservazioni, suggerimenti, ecc.: [email protected]