Orario di ricevimento nel primo semestre: Martedì: ore 14.30-16.00.

Testi Consigliati

Diario delle Lezioni

• 17/12  Quozienti di anelli di polinomi a coefficienti in un campo: K[X]/I. Elementi invertibili in K[X]/I. Ampliamenti di campi. Descrizione di un campo come spazio vettoriale su un suo sottocampo. Campi finiti: caratteristica e numero di elementi. Costruzione di campi finiti come quozienti di Z_p[X]. Esempi ed esercizi. Divisione euclidea in Z[i]: esercizi.

• 15/12 Elementi invertibili in un ED. Esempi. Polinomi irriducibili. Teorema di Gauss. Anelli di polinomi a coefficienti in un UFD.

• 9/12 Caratterizzazione degli UFD attraverso la a.c.c. sugli ideali principali (II parte). Domini a Ideali Principali (PID). PID è UFD e Bezout. Esempi.  Domini Euclidei: valutazione euclidea. Esempi: campi, Z, Z[i], K[X]. ED è PID.

• 3/12 Lemma di Euclide. Elementi irriducibili che sono anche primi. Domini a fattorizzazione unica (UFD). Esistenza del MCD in un UFD. Relazione fra UFD, domini di Bezout e MCD-domini. Caratterizzazione degli UFD attraverso la a.c.c. sugli ideali principali (I parte).

• 1/12 Relazione di divisibilità fra due elementi di un dominio A. Elementi associati, irriducibili e primi. Massimo Comun Divisore e Identità di Bezout: descrizione attraverso gli ideali. Relazione fra MCD-domini e domini di Bezout. Un elemento primo è sempre irriducibile.

• 26/11 Secondo teorema di isomorfismo fra anelli. Campo dei quozienti di un anello integro e commutativo. 

• 24/11 Teorema di omomorfismo fra anelli. Corrispondenza di ideali e sottoanelli fra anelli omomorfi. Primo teorema di isomorfismo fra anelli.

• 19/11 Ideali primi e massimali e loro caratterizzazioni tramite il quoziente dell'anello R. Se R è unitario ogni ideale è contenuto in un ideale massimale. Esempi e controesempi. Omomorfismi di anelli: definizioni e prime proprietà. 

• 17/11 Relazioni di equivalenza compatibili in un anello e ideali bilateri. Corrispondenza biunivoca fra questi due insiemi. Anello quoziente. Esempi.

• 5/11 Anelli: definizioni ed esempi. Principali tipi di anelli (unitari, commutativi, integri, corpi e campi). Sottoanelli. Ideali destri, sinistri e bilateri. Esempi. Un anello commutativo, integro e finito è un campo. Un campo non ha ideali propri. Sottoanelli e ideali generati da un insieme X. Ideali principali.

• 29/10 Esercitazione pre-esonero.

• 27/10 Prodotto diretto esterno ed interno di gruppi. Esercizi.

• 22/10 Classi coniugate in S_n. Numero di r-cicli distinti in S_n. Esempi ed esercizi.

• 20/10 Calcolo del numero di orbite in un G-insieme X. Il centro di un p-gruppo non è banale. Un gruppo di ordine p^2 è sempre abeliano. Il teorema di Cauchy (esistenza di un elemento di ordine p in un gruppo G tale che p | |G|).

• 13/10 Azione di un gruppo su un insieme. Orbita di un elemento. Esempi: S_n, coniugio, laterali di un sottogruppo. Stabilizzatore di un elemento. Centralizzante di un elemento. Equazione delle classi.

• 13/10 Primo e secondo teorema di isomorfismo per i gruppi: esempi. Teorema di corrispondenza dei sottogruppi (e dei sottogruppi normali) tramite un omomorfismo. Caso particolare del quoziente di un gruppo.

• 8/10 Primo teorema di omomorfismo per i gruppi: esempi. Automorfismi e automorfismi interni di gruppi. Gruppi ciclici infiniti e di ordine n: loro generatori.

• 6/10 Sottogruppi normali di un gruppo dato: intersezione, sottogruppi generati, struttura reticolare. Quoziente di un gruppo su un suo sottogruppo normale. Relazione di coniugio fra gli elementi di un gruppo. Sottogruppi coniugati e loro relazioni con i sottogruppi normali. 

• 1/10 Isomorfismi di gruppi. Teorema di Cayley.  Omomorfismi di gruppi: prime proprietà. Classi laterali rispetto a nucleo di un omomorfismo. Immagini omomorfe di gruppi ciclici. Relazioni di equivalenza compatibili con l'operazione di un gruppo.

• 29/09 Gruppi diedrali. Classi laterali destre e sinistre rispetto ad un sottogruppo H. Teorema di Lagrange. Esponente di un gruppo.

• 24/09 Gruppi ciclici. Ordine degli elementi di un gruppo ciclico. Sottogruppi di un gruppo ciclico. Sottogruppi di (Z,+). Gruppi di permutazioni.

• 22/09 Definizione di gruppo. Notazione additiva e moltiplicativa. Unicità dell'elemento neutro e dell'inverso. Gruppi numerici e di matrici. Ordine di un elemento. Sottogruppi. Sottogruppi generati da un insieme X.

Gruppi: Gruppi di permutazioni, diedrali, ciclici. Sottogruppi. Classi laterali e teorema di Lagrange. Omomorfismi. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Teoremi di omomorfismo.

Anelli: Anelli, domini, corpi e campi. Sottoanelli, sottocampi e ideali. Omomorfismi. Anelli quoziente. Teoremi di omomorfismo. Ideali primi e massimali. Campo dei quozienti di un dominio. Divisibilità in un dominio. Campi: Estensioni di campi (semplici, algebriche e trascendenti). Campo di spezzamento di un polinomio (cenni). Campi finiti.